在矩形ABCD中,邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處(如圖1).
圖1 圖2
(1)如圖2,設(shè)折痕與邊BC交于點(diǎn)O,連接,OP、OA.已知△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長;
(2)動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上(不與點(diǎn)P、A重合),動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連接MN、 PA,交于點(diǎn)F,過點(diǎn)M作ME⊥BP于點(diǎn)E.
①在圖1中畫出圖形;
②在△OCP與△PDA的面積比為1:4不變的情況下,試問動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化?請(qǐng)你說明理由.
解:(1)如圖2,∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠C=∠D=90°.
∴∠1+∠3=90°.
∵由折疊可得∠APO=∠B=90°,
∴∠1+∠2=90°.
∴∠2=∠3.-------------------------1分
又∵∠D=∠C, 2
∴△OCP∽△PDA.---------------------------------------------2分
如圖1,∵△OCP與△PDA的面積比為1:4,
∴.∴CP=AD=4.
設(shè)OP=x,則CO=8-x.
在Rt△PCO中,∠C=90°,
由勾股定理得 x2=(8-x)2+42.---------------------------------------------3分
解得:x=5.
∴AB=AP=2OP=10. -------------------------------------------------4分
∴邊AB的長為10.
(2)①----------5分
②在△OCP與△PDA的面積比為1:4這一條件不變的情況下,點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中,線段EF的長度是不變的.
過點(diǎn)M作MQ∥AN,交PB于點(diǎn)Q,如圖.
∵AP=AB,MQ∥AN,
∴∠APB=∠ABP=∠MQP.
∴MP=MQ.又ME⊥PQ
∴點(diǎn)E是PQ的中點(diǎn)
∵MP=MQ,BN=PM,,.
∴BN=QM,又 MQ∥AN
可證點(diǎn)F是QB的中點(diǎn)
∴EF=. ------------------------------------------------6分
∵△BCP中,∠C=90°,PC=4,BC=AD=8
∴PB=為定值
∴EF為定值. ----------------------------------------------------------7分
∴在△OCP與△PDA的面積比為1:4這一條件不變的情況下,點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中,線段EF的長度是不變的它的.
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如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,直徑為的⊙A經(jīng)過坐標(biāo)系原點(diǎn)O(0,0),與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,).
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)如圖②,過點(diǎn)B作⊙A的切線交直線OA于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)過點(diǎn)P作⊙A的另一條切線PE,請(qǐng)直接寫出切點(diǎn)E的坐標(biāo).
圖① | 圖② |
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(2)請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出一個(gè)格點(diǎn)△A”B”C”,使△A”B”C”∽△ABC,
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