Question

已知，如圖(甲)，正方形ABCD的邊長為2，點M是BC的中點，P是線段MC上的一個動點，P不運動到M和C，以AB為直徑做⊙O，過點P作⊙O的切線交AD于點F，切點為E．

(1)求四邊形CDFP的周長；

(2)試探索P在線段MC上運動時，求AF·BP的值；

(3)延長DC、FP相交于點G，連結(jié)OE并延長交直線DC于H(如圖乙)，是否存在點P，使△EFO∽△EHG？如果存在，試求此時的BP的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵四邊形ABCD是正方形∴∠A＝∠B＝90°， 　　∴AF、BP都是⊙O的切線， 　　又∵PF是⊙O的切線 　　∴FE＝FA，PE＝PB 　　∴四邊形CDFP的周長為： 　　AD＋DC＋CB＝2×3＝6 　　(2)連結(jié)OE，PF是⊙O的切線 　　∴OE⊥PF.在Rt△AOF和Rt△EOF中， 　　∵AO＝EO，OF＝OF 　　∴Rt△AOF≌Rt△EOF∴∠AOF＝∠EOF， 　　同理∠BOP＝∠EOP，∴∠EOF＋∠EOP＝180°＝90°，∠FOP＝90° 　　即OF⊥OP，∴AF·BP＝EF·PE＝OE2＝1 　　(3)存在．∵∠EOF＝∠AOF，∴∠EHG＝∠AOE＝2∠EOF， 　　∴當(dāng)∠EFO＝∠EHG＝2∠EOF，即∠EOF＝30°時，Rt△EFO∽Rt△EHG 　　此時，∠EOF＝30°，∠BOP＝∠EOP＝90°－30°＝60°∴BP＝OB·．