Question

【題目】如圖，直線y＝ax+2與x軸、y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線y＝（x＞0）相交于點(diǎn)P，PC⊥x軸于點(diǎn)C，且PC＝4，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0）．

（1）求雙曲線的解析式；

（2）若點(diǎn)Q為雙曲線上點(diǎn)P右側(cè)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，當(dāng)以點(diǎn)Q，C，H為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2+2，4﹣4）或（8，2）

【解析】

（1）把A坐標(biāo)代入直線解析式求出a的值，確定出直線解析式，把y＝4代入直線解析式求出x的值，確定出P坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出雙曲線解析式；

（2）設(shè)Q（m，），分兩種情況考慮：當(dāng)△QCH∽△BAO時(shí)；當(dāng)△QCH∽△ABO時(shí)，由相似得比例求出m的值，即可得出Q坐標(biāo)．

解：（1）把A（﹣4，0）代入y＝ax+2，

得，﹣4a+2＝0，解得a＝，

故直線AB的解析式為y＝x+2，

把y＝4代入y＝x+2，得x+2＝4，

解得x＝4，

∴點(diǎn)P（4，4）．

把P（4，4）代入y＝，得k＝16，

故雙曲線的解析式為y＝；

（2）把x＝0代入y＝x+2，得y＝2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），

∴OB＝2，

∵A（﹣4，0），

∴OA＝4，

設(shè)Q（m，），則CH＝m﹣4，QH＝，

由題意可知∠AOB＝∠QHC＝90°，

當(dāng)△AOB△QHC時(shí)，

，即，

解得：m1＝2+2，m22﹣2 （不合題意，舍去），

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2+2，4﹣4），

當(dāng)△BOA△QHC時(shí)，

，即，

解得m1＝8，m2＝﹣4（不合題意，舍去），

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8，2）．

綜上可知，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2+2，4﹣4）或（8，2）．