Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有矩形AOBC，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，4）、（10,0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)M在線段AO上，點(diǎn)N在線段AC上，總有∠MPN=90 ，點(diǎn)M從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合（如圖2）。令AM=x

（1）.直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)___________；

（2）、①設(shè)MN2=y，請(qǐng)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值；

②連接AP交MN于點(diǎn)D，若MN⊥A P，求x的值；

（3）、當(dāng)點(diǎn)M在邊AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠PMN的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由.

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，4）（2）①x=4時(shí)，y有最小值20；②；（3）不發(fā)生變化.

【解析】（1）由已知條件求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）過N點(diǎn)作NQ⊥OP的輔助線，利用相似三角形得出二次函數(shù)解析式，再求出y的最小值；（3）利用A、M、P、N在以MN為直徑的⊙E上，（或求tan∠PMN為一定值），判斷∠PMN的大小是否發(fā)生變化.

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，4）

（2）①過N點(diǎn)作NQ⊥OP，垂足為Q

∴△POM∽△NQP，

∴

∴PQ=8－2x

∴MN2=AM2+ AN2

∴y= x2+(10－2 x) 2=5 x 2－40 +100=5(x－4) 2+20(0≤x≤4)

∴當(dāng)x=4時(shí)，y有最小值20；

②取MN的中點(diǎn)E，連AE、PE，

∵∠MAN=∠MPN=90°

∴A、M、P、N在以MN為直徑的⊙E上

由垂徑定理可知AD=PD，∴AM=PM=x

在Rt△POM中，

∴ ， 解得

（3）∠PMN的大小不發(fā)生變化

方法1，∵A、M、P、N在以MN為直徑的⊙E上

∴∠PMN=∠PAN

∴∠PMN的大小不發(fā)生變化

方法2，∵△POM∽△NQP

∴tan∠PMN==2

∴∠PMN的大小不發(fā)生變化

“點(diǎn)睛”此題考查矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)，相似三角形，垂徑定理，勾股定理以及關(guān)于點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化變化的情況，解題時(shí)要多角度考慮解法．