Question

（本題滿分10分）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系，下面我們就來研究其中的幾種位置關(guān)系中角所存在的幾種數(shù)量關(guān)系．

（1）問題探究1：

如圖①，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則有∠D=∠BOD，又因為∠BOD是△POB的外角，故∠BOD=∠BPD +∠B，得∠BPD=∠D -∠B．

將點P移到AB、CD內(nèi)部，如圖②，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；

（2）問題探究2：在圖②中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD延長線于點Q，如圖③，則∠BPD﹑∠B﹑∠PDQ﹑∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論直接寫出圖④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．

Answer 1

（1）∠B+∠BPD+∠D=360°；（2）∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD；（3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360．

【解析】

試題分析：（1）過點p作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)的∠B+∠BPE=180°，∠D+∠EPD=180°，所以∠B +∠BPE+∠D +∠EPD=360°，即∠B+∠BPD+∠D=360°；

（2）連接QP并延長至E，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得∠BPE=∠BQP+∠B，∠EPD=∠DQP+∠PDQ，所以∠BPE+∠EPD=∠BQP+∠B+∠DQP+∠PDQ，即：∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD；

（3）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，把這幾個角轉(zhuǎn)換到一個四邊形中，即可得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360．

試題解析： （1）上述結(jié)論不成立，理由如下：

過點p作PE∥AB，

∴∠B+∠BPE=180°，

又∵AB∥CD，

∴PE∥CD，

∴∠D+∠EPD=180°，

∴∠B +∠BPE+∠D +∠EPD=360°，

即∠B+∠BPD+∠D=360°；

（2）∠BPD=∠B+∠PDQ +∠BQD，理由如下：

連接QP并延長至E，

∵∠BPE是△BPQ的一個外角，

∴∠BPE=∠BQP+∠B，

同理：∠EPD=∠DQP+∠PDQ，

∴∠BPE+∠EPD=∠BQP+∠B+∠DQP+∠PDQ，

即：∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD ；

（3） ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360．

考點：1、平行線的性質(zhì)；2、三角形的外角的性質(zhì)．