Question

【題目】已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，OD∥BC交⊙O于點D，交AC于點E，連接AD、BD，BD交AC于點F．

（1）求證：BD平分∠ABC；
（2）延長AC到點P，使PF=PB，求證：PB是⊙O的切線；
（3）如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】證明：∵OD∥BC，

∴∠D=∠CBD，

∵OB=OD，

∴∠D=∠OBD，

∴∠CBD=∠OBD，

∴BD平分∠ABC；

（2）

證明：∵⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，

∴∠ACB=90°，

∴∠CFB+∠CBF=90°．

∵PF=PB，

∴∠PBF=∠CFB，

由1知∠OBD=∠CBF，

∴∠PBF+∠OBD=90°，

∴∠OBP=90°，

∴PB是⊙O的切線；

（3）

解：連結(jié)AD．

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，

∴cos∠ABC=，

∴BC=6，AC==8．

∵OD∥BC，

∴△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，

∴，，

∴AE=4，OE=3，

∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，

∴AD===．

【解析】（1）先由OD∥BC，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得出∠D=∠CBD，由OB=OD，根據(jù)等邊對等角得出∠D=∠OBD，等量代換得到∠CBD=∠OBD，即BD平分∠ABC；
（2）先由圓周角定理得出∠ACB=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠CFB+∠CBF=90°．再由PF=PB，根據(jù)等邊對等角得出∠PBF=∠CFB，而由（1）知∠OBD=∠CBF，等量代換得到∠PBF+∠OBD=90°，即∠OBP=90°，根據(jù)切線的判定定理得出PB是⊙O的切線；
（3）連結(jié)AD．在Rt△ABC中，由cos∠ABC=，求出BC=6，根據(jù)勾股定理得到AC==8．再由OD∥BC，得出△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出AE=4，OE=3，那么DE=OD﹣OE=2，然后在Rt△ADE中根據(jù)勾股定理求出AD==2．