Question

（2010•盧灣區(qū)一模）已知正方形ABCD中，AB=5，E是直線BC上的一點，連接AE，過點E作EF⊥AE，交直線CD于點F．
（1）當(dāng)E點在BC邊上運動時，設(shè)線段BE的長為x，線段CF的長為y，
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域；
②根據(jù)①中所得y關(guān)于x的函數(shù)圖象，求當(dāng)BE的長為何值時，線段CF最長，并求此時CF的長；
（2）當(dāng)CF的長為時，求tan∠EAF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①由題意易得△CEF∽△BAE，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式，根據(jù)BC的長確定定義域即可；
②用配方法求得二次函數(shù)的最值即可；
（2）因為tan∠EAF=EF：AE，則由①的函數(shù)解析式求得BE的值，由相似三角形對應(yīng)邊對應(yīng)成比例，即可求得EF：AE=CF：BE．
解答：解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°．
又∵∠CEA=∠CEF+∠AEF，∠CEA=∠BAE+∠B，
∴∠CEF=∠BAE．（1分）
又∵∠B=∠C=90°，
∴△CEF∽△BAE（1分）
∴，
∴，
∴（0＜x＜5）；（2分）
②（1分）
根據(jù)函數(shù)圖象可知，拋物線，
開口向下，拋物線的頂點坐標(biāo)是它的最高點、且在函數(shù)的定義域內(nèi)．
所以當(dāng)BE的長為時，CF的長最大為（2分）

（2）若E在邊BC上，CF=y=，
∴，
解得x₁=2，x₂=3，
當(dāng)BE=2時，；
當(dāng)BE=3，時．
若E在CB延長線上時，同理可得△CEF∽△BAE，
∴，即，
∴y=x²+x，
∵CF=y=，，
解得：x₁=1，x₂=-6（舍去），
當(dāng)BE=1時，tan∠EAF=．
當(dāng)E點可在BC的延長線上，CE=1，
tan∠EAF=．
點評：此題綜合考查了相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用、二次函數(shù)的最值求法、直角三角形中銳角函數(shù)值的求法等知識點．