Question

如圖，△ABC的高AD=4，BC=8，四邊形MNPQ是△ABC中任意一個內(nèi)接矩形
（1）設(shè)MN=x，MQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)MN=x，矩形MNPQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當MN為多大時，矩形MNPQ面積y有最大值，最大值為多少？

Answer 1

解：（1）∵四邊形MNPQ是△ABC中一個內(nèi)接矩形，
∴MN∥BC，MQ⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴四邊形MQDE是矩形，
∴MQ=DE，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∵△ABC的高AD=4，BC=8，MN=x，MQ=y，
∴，
解得：y=4-x；

（2）∵由（1），可得MN=x，
∴MQ=4-x，
∴y=S_矩形MNPQ=MN•MQ=x（4-x）=-（x-4）²+8，
∵-＜0，
∴當MN為4時，矩形MNPQ面積y有最大值，最大值為8．
分析：（1）由四邊形MNPQ是△ABC中任意一個內(nèi)接矩形，易證得△AMN∽△ABC，然后由相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，即可求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）由（1），可求得MQ的值，然后由矩形的面積公式，即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，然后由二次函數(shù)的最值問題，求得當MN為多大時，矩形MNPQ面積y有最大值，最大值為多少．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．