Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸的正半軸交于A 、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C .點A和點B間的距離為2， 若將二次函數(shù)的圖象沿y軸向上平移3個單位時，則它恰好過原點，且與x軸兩交點間的距離為4.

    （1）求二次函數(shù)的表達式；

    （2）在二次函數(shù)的圖象的對稱軸上是否存在一點P，使點P到B、C兩點距離之差最大？若存在，求出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點為D，在x軸上是否存在這樣的點F，使得？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）∵平移后的函數(shù)圖象過原點且與x軸兩交點間的距離為4，

∴平移后的函數(shù)圖象與x軸兩交點坐標(biāo)為（0，0）,(4,0)或（0，0），（-4，0）

∴它的對稱軸為直線x=2或x=-2.

∵拋物線與x軸的正半軸交于A、B兩點，

∴拋物線關(guān)于直線x=2對稱，

∵它與x軸兩交點間的距離為2，且點A 在點B的左側(cè).

∴其圖象與x軸兩交點的坐標(biāo)為A（1，0）、B(3,0).

由題意知，二次函數(shù)的圖象過C（0，-3），

∴設(shè).

    （2）∵點B關(guān)于直線x=2的對稱點為A（1，0）

    設(shè)直線AC的解析式為

   

   

∴直線AC的解析式為       

    直線AC與直線x=2的交點P就是到B、C兩點距離之差最大的點.

    當(dāng)x=2時，y=3

    ∴點P的坐標(biāo)為（2，3）                …

    （3）在x軸上存在這樣的點F，使得DFB=DCB

    拋物線的頂點D的坐標(biāo)為（2，1）

設(shè)對稱軸與x軸的交點為點E

   

   

    ∵E（2，0），

∴符合題意的點F的坐標(biāo)為F₁（-1，0）或F₂（5，0）