Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸的正半軸交于A 、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C .點(diǎn)A和點(diǎn)B間的距離為2， 若將二次函數(shù)的圖象沿y軸向上平移3個(gè)單位時(shí)，則它恰好過(guò)原點(diǎn)，且與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4.

    （1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

    （2）在二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)距離之差最大？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為D，在x軸上是否存在這樣的點(diǎn)F，使得？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）∵平移后的函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)且與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，

∴平移后的函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）,(4,0)或（0，0），（-4，0）

∴它的對(duì)稱軸為直線x=2或x=-2.

∵拋物線與x軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，

∴拋物線關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

∵它與x軸兩交點(diǎn)間的距離為2，且點(diǎn)A 在點(diǎn)B的左側(cè).

∴其圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（1，0）、B(3,0).

由題意知，二次函數(shù)的圖象過(guò)C（0，-3），

∴設(shè).

    （2）∵點(diǎn)B關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)為A（1，0）

    設(shè)直線AC的解析式為

   

   

∴直線AC的解析式為       

    直線AC與直線x=2的交點(diǎn)P就是到B、C兩點(diǎn)距離之差最大的點(diǎn).

    當(dāng)x=2時(shí)，y=3

    ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）                …

    （3）在x軸上存在這樣的點(diǎn)F，使得DFB=DCB

    拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1）

設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E

   

   

    ∵E（2，0），

∴符合題意的點(diǎn)F的坐標(biāo)為F₁（-1，0）或F₂（5，0）