Question

【題目】如圖,已知等腰△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC,∠PAB=α,點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AD，連接BD交AP于點(diǎn)G，連接CD交AP于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F.

（1）如圖當(dāng)α=15°時(shí),①按要求畫(huà)出圖形，②求出∠ACD的度數(shù)，③探究DE與BF的倍數(shù)關(guān)系并加以證明；

（2）在直線AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中（0°＜α＜75°），當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí)，畫(huà)出相應(yīng)圖形直接求出α的值為________．

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②∠ACD=60°；③DE=2BF，理由見(jiàn)解析；（2）30°或52.5°．

【解析】

（1）①按要求畫(huà)出即可；

②根據(jù)點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，得到AP垂直平分BD，利用垂直平分線的性質(zhì)，證明△ACD為等邊三角形，即可得到∠ACD=60°；

③DE=2BF，連接EB，根據(jù)AP垂直平分BD，得到ED=EB，利用等邊對(duì)等角得到∠3=∠4，利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠3=∠4=15°，∠5=30°，又因?yàn)锳D=AC，AB平分∠DAC，所以AB⊥DC，即可得到EB=2BF，所以ED=2BF；

（2）畫(huà)出圖形，分三種情況討論：當(dāng)AE=AF時(shí)；當(dāng)AE=EF時(shí)；當(dāng)EF=AF時(shí)．

（1）①如圖為所求作的圖形；

②∵ B、D關(guān)于AP對(duì)稱(chēng)，

∴AP垂直平分BD，AD=AB，∠1=∠2=15°，

∴∠DAC=60°，

∴△ACD為等邊三角形，

∴∠ACD=60°；

③ DE=2BF ，理由如下：

連接 EB，

∴ED=EB，

∵AB=AD，∠DAB=30°，

∴∠ADB=75°，

又∵∠ADC=60°，

∴∠3=∠4=15°，

∴∠5=30°，

∵AD=AC ，

AB平分∠DAC ，

∴AB⊥DC ，

∴EB=2BF，

∴ED=2BF ；

（2）如圖2，

∵AD=AC，

∴△DAC是等腰三角形，

∴∠ADC=（180°-2α-30°）÷2=75°-α，

∴∠AEF=∠ADC+∠DAE=75°-α+α=75°，

當(dāng)AE=AF時(shí)，∠EAF=α=180°-75°×2=180°-150°=30°；

當(dāng)AE=EF時(shí)，∠EAF=α=（180°-75°）÷=52.5°；

當(dāng)EF=AF時(shí)，∠AEF=∠EAF=a=75°（舍去），

故答案為：30°或52.5°．