Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點為B（2，1），且過點A（0，2），直線y=x與拋物線交于點D，E（點E在對稱軸的右側），拋物線的對稱軸交直線y=x于點C，交x軸于點G，EF⊥x軸，垂足為F，點P在拋物線上，且位于對稱軸的右側，PQ⊥x軸，垂足為點Q，△PCQ為等邊三角形

（1）求該拋物線的解析式；
（2）求點P的坐標；
（3）求證：CE=EF；
（4）連接PE，在x軸上點Q的右側是否存在一點M，使△CQM與△CPE全等？若存在，試求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．[注：3+2 =（ +1）2]．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線的表達式為y=a（x﹣2）2+1，將點A（0，2）代入，得a（0﹣2）2+1=2，

解這個方程，得a= ，

∴拋物線的表達式為y= （x﹣2）2+1= x2﹣x+2；

（2）

解：將x=2代入y=x，得y=2

∴點C的坐標為（2，2）即CG=2，

∵△PCQ為等邊三角形

∴∠CQP=60°，CQ=PQ，

∵PQ⊥x軸，

∴∠CQG=30°，

∴CQ=4，GQ=2 ．

∴OQ=2+2 ，PQ=4，

將y=4代入y= （x﹣2）2+1，得4= （x﹣2）2+1

解這個方程，得x1=2+2 =OQ，x2=2﹣2 ＜0（不合題意，舍去）．

∴點P的坐標為（2+2 ，4）；

（3）

證明：把y=x代入y= x2﹣x+2，得x= x2﹣x+2

解這個方程，得x1=4+2 ，x2=4﹣2 ＜2（不合題意，舍去）

∴y=4+2 =EF

∴點E的坐標為（4+2 ，4+2 ）

∴OE= =4+4 ，

又∵OC= =2 ，

∴CE=OE﹣OC=4+2 ，

∴CE=EF；

（4）

解：不存在．

如圖，假設x軸上存在一點，使△CQM≌△CPE，則CM=CE，∠QCM=∠PCE

∵∠QCP=60°，

∴∠MCE=60°

又∵CE=EF，

∴EM=EF，

又∵點E為直線y=x上的點，

∴∠CEF=45°，

∴點M與點F不重合．

∵EF⊥x軸，這與“垂線段最短”矛盾，

∴原假設錯誤，滿足條件的點M不存在．

【解析】（1）根據拋物線的頂點是（2，1），因而設拋物線的表達式為y=a（x﹣2）2+1，把A的坐標代入即可求得函數的解析式；（2）根據△PCQ為等邊三角形，則△CGQ中，∠CQD=30°，CG的長度可以求得，利用直角三角形的性質，即可求得CQ，即等邊△CQP的邊長，則P的縱坐標代入二次函數的解析式，即可求得P的坐標；（3）解方程組即可求得E的坐標，則EF的長等于E的縱坐標，OE的長度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的長度可以求得，則CE的長度即可求解；（4）可以利用反證法，假設x軸上存在一點，使△CQM≌△CPE，可以證得EM=EF，即M與F重合，與點E為直線y=x上的點，∠CEF=45°即點M與點F不重合相矛盾，故M不存在．