Question

【題目】如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB、AE（AB＜AE）在一條直線上，正方形AEFG以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩個(gè)正方形只有點(diǎn)A重合，其它頂點(diǎn)均不重合，連接BE、DG．
（1）當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí)，求證：BE=DG；
（2）如圖3，如果α=45°，AB=2，AE=4 ，求點(diǎn)G到BE的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠BAE=∠DAG，由正方形的性質(zhì)可知：AB=AD，AE=AG．

∵在△ABE和△ADG中， ，

∴△ABE≌△ADG．

∴BE=DG．

（2）解：連接GE、BG，延長(zhǎng)AD交GE與H．

當(dāng)α=45°時(shí)，則∠BAD=45°．

∵∠BAD=∠EAG=90°．

∴∠EAH=∠GAH=45°．

又∵AE=AG，

∴AH⊥GE．

又∵AH⊥AB，∠EAH=45°，

∴△AHE為等腰直角三角形．

∴EH=AH= AE=4．

∴EG=2EH=8．

∴S△BEG= EGAH= ×8×4=16．

設(shè)點(diǎn)G到BE的距離為h．

S△BEG= EBh=16，即 ×4 h=16，解得h=4 ．

∴點(diǎn)G到BE的距離為4

【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAE=∠DAG，由正方形的性質(zhì)得到AB=AD，AE=AG，然后依據(jù)SAS可證明△ABE≌△ADG，然后依據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）連接GE、BG，延長(zhǎng)AD交GE與H．當(dāng)α=45°時(shí)，可證明△AHE為等腰直角三角形，然后可求得AH和HE的長(zhǎng)，然后依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到EG=2HE，最后在△BEG中，利用面積法可求得點(diǎn)G到BE的距離．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，需要了解正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了才能得出正確答案．