Question

如圖，矩形OABC在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=4，OC=3，若拋物線的頂點在BC邊上，且拋物線經過O，A兩點，直線AC交拋物線于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求點D的坐標；

（3）若點M在拋物線上，點N在x軸上，是否存在以A，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：

二次函數(shù)綜合題．

專題：

綜合題．

分析：

（1）由OA的長度確定出A的坐標，再利用對稱性得到頂點坐標，設出拋物線的頂點形式y(tǒng)=a（x﹣2）²+3，將A的坐標代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；

（2）設直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標代入求出k與b的值，確定出直線AC解析式，與拋物線解析式聯(lián)立即可求出D的坐標；

（3）存在，分兩種情況考慮：如圖所示，當四邊形ADMN為平行四邊形時，DM∥AN，DM=AN，由對稱性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根據(jù)OA+AN求出ON的長，即可確定出N的坐標；當四邊形ADM′N′為平行四邊形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=，N′P=AQ=3，將y=﹣代入得：﹣=﹣x²+3x，求出x的值，確定出OP的長，由OP+PN′求出ON′的長即可確定出N′坐標．

解答：

解：（1）設拋物線頂點為E，根據(jù)題意OA=4，OC=3，得：E（2，3），

設拋物線解析式為y=a（x﹣2）²+3，

將A（4，0）坐標代入得：0=4a+3，即a=﹣，

則拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）²+3=﹣x²+3x；

（2）設直線AC解析式為y=kx+b（k≠0），

將A（4，0）與C（0，3）代入得：，

解得：，

故直線AC解析式為y=﹣x+3，

與拋物線解析式聯(lián)立得：，

解得：或，

則點D坐標為（1，）；

（3）存在，分兩種情況考慮：

①當點M在x軸上方時，如答圖1所示：

四邊形ADMN為平行四邊形，DM∥AN，DM=AN，

由對稱性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，

∴N₁（2，0），N₂（6，0）；

②當點M在x軸下方時，如答圖2所示：

過點D作DQ⊥x軸于點Q，過點M作MP⊥x軸于點P，可得△ADQ≌△NMP，

∴MP=DQ=，NP=AQ=3，

將y_M=﹣代入拋物線解析式得：﹣=﹣x²+3x，

解得：x_M=2﹣或x_M=2+，

∴x_N=x_M﹣3=﹣﹣1或﹣1，

∴N₃（﹣﹣1，0），N₄（﹣1，0）．

綜上所述，滿足條件的點N有四個：N₁（2，0），N₂（6，0），N₃（﹣﹣1，0），N₄（﹣1，0）．

點評：

此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定拋物線解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點，平行四邊形的性質，以及坐標與圖形性質，是一道多知識點的探究型試題．