Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，是等邊三角形，AP、BP的延長線分別交邊CD于點E、F，聯(lián)結AC、CP、AC與BF相交于點H，下列結論中錯誤的是（ ）

A.AE=2DEB.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

A.利用直角三角形30度角的性質即可解決問題．
B.根據兩角相等兩個三角形相似即可判斷．
C.通過計算證明∠DPB≠∠DPF，即可判斷．
D.利用相似三角形的性質即可證明．

解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=∠DAB=90°，
∵△ABP是等邊三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°，
∴∠DAE=30°，
∴AE=2DE，故A正確;
∵AB∥CD，
∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，
∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°，
又∵BC=BP，∠PBC=30°，
∴∠BPC=∠BCP=75°，
∴∠CPF=105°，
∴∠PHA=∠CPF，又易得∠APB=∠CFP=60°，
∴△CFP∽△APH，故B正確;
∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF，
∴△PFC與△PCA不相似，故C錯誤;
∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°，
∴∠PCH=∠PBC，
∵∠CPH=∠BPC，
∴△PCH∽△PBC，
∴,
∴PC2=PHPB，故D正確，
故選：C．