Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x+6與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．

（1）如圖1，點P為直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PH∥y軸，交直線BC于點H，過點P作PQ⊥BC于點Q，當PQ﹣PH最大時，點C關于x軸的對稱點為點D，點M為直線BC上一動點，點N為y軸上一動點，連接PM、MN，求PM+MN+ND的最小值；

（2）如圖2，連接AC，將△OAC繞著點O順時針旋轉，記旋轉過程中的△OAC為△OA'C'，點A的對應點為點A'，點C的對應點為點C'．當點A'剛好落在線段AC上時，將△OA'C'沿著直線BC平移，在平移過程中，直線OC'與拋物線對稱軸交于點E，與x軸交于點F，設點R是平面內(nèi)任意一點，是否存在點R，使得以B、E、F、R為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點R的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，(，10)或(，﹣)或(3，﹣)

【解析】

（1）PQ﹣PH＝PHsinα﹣PH＝PH，當x＝4時，PH最大，即PQ﹣PH最大，此時點P（4，3）；過點D作直線DH∥BC，則∠NDH＝∠OBC，sin∠OCB＝cos∠OBC＝cosα＝，過點P作PH⊥DH于點H，則此時，PM+MN+ND的最小，即可求解；

（2）分BF是邊、BF為對角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）拋物線y＝與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，

令x=0，則y=6；

令y=0，則，解得：，；

∴點A、B、C的坐標分別為：（﹣2，0）、（8，0）、（0，6），

由點B、C的坐標得直線BC的表達式為：y＝﹣x+6，

∴∠HPQ＝∠OBC，則tan∠HPQ＝tan∠OBC＝＝tanα，

則sinα＝，cos，

PQ﹣PH＝PHsinα﹣PH＝PH，

而PH＝y＝＝，

當x＝4時，PH最大，即PQ﹣PH最大，

此時點P（4，3）；

過點D作直線DH∥BC，則∠NDH＝∠OBC，sin∠OCB＝cos∠OBC＝cosα＝，

過點P作PH⊥DH于點H，則此時，PM+MN+ND的最小，

則HD＝DNsin∠NDH＝DNcosα＝，

則PM+MN+ND＝PM+MN+HN＝PH，即此時PM+MN+ND的最小，

直線PH⊥HD，則直線PH表達式中的k值為：，

由k值和點P的坐標得：直線PH的表達式為：y＝x，故點N（0，0），

HN＝NDcosα＝6×＝，PN＝PO＝5，

PH＝5+＝，

即PM+MN+ND的最小值為：；

（2）OA＝OA′＝2，

過點A′作A′H⊥x軸于點H，tan∠A′AO＝＝3＝tanβ，

設AH＝x，則A′H＝3x，OH＝2﹣x，

由勾股定理得：22＝（3x）2+（2﹣x）2，

解得：x＝，故點A′（﹣，），

則直線OA′的表達式為：y＝﹣x，

OA′⊥C′O，則直線OC′的表達式為：y＝x，

設直線OC′向右平移了m個單位，則直線OC′的表達式為：y＝（x﹣m），

拋物線的對稱軸為：x＝3，

則點F（m，0），點E（3，4﹣m），而點B（8，0）；

①當BF是邊時，

則BF＝ER＝8﹣m，則點R（3+8﹣m，4﹣m），

由BR＝FR得：（8﹣m）2＝（3﹣m）2+（4﹣m）2，

解得：m＝﹣或，

故點R（，10）或（，﹣）；

②當BF為對角線時，

則點R（3，m﹣4），

由FR＝BR得：（m﹣3）2+（m﹣4）2＝52+（m﹣4）2，

解得：m＝8（舍去）或﹣2，

故點R（3，﹣）；

綜上所述，點R的坐標為：（，10）或（，﹣）或（3，﹣）．