如圖,已知拋物線y=﹣+bx+4與x軸相交于A、B兩點,與y軸相交于點C,若已知B點的坐標為B(8,0).
(1)求拋物線的解析式及其對稱軸方程.
(2)連接AC、BC,試判斷△AOC與△COB是否相似?并說明理由.
(3)在拋物線上BC之間是否存在一點D,使得△DBC的面積最大?若存在請求出點D的坐標和△DBC的面積;若不存在,請說明理由.
考點: 二次函數(shù)綜合題.
分析: (1)直接把點B(8,0)代入拋物線y=﹣+bx+4,求出b的值即可得出拋物線的解析式,進而可得出其對稱軸方程;
(2)求出A點坐標,再由銳角三角函數(shù)的定義得出tan∠ACO=tan∠CBO,故∠ACO=∠CBO,由此可得出結論;
(3)求出BC解析式,將S△BCD轉化為DH•OB,設D(t,﹣t2+t+4),H(t,﹣t+4),面積可轉化為S△BCD=﹣(t﹣4)2+2,△DBC的最大面積為2,此時D點坐標為(4,6).
解答: 解:(1)∵B點的坐標為B(8,0),
∴﹣16+8b+4=0,解得b=,
∴拋物線的解析式為y═﹣+x+4,
對稱軸方程為x=﹣=3;
(2)∵由(1)知,拋物線的對稱軸方程為x=3,B(8,0)
∴A(﹣2,0),C(0,4),
∴OA=2,OC=4,OB=8,
∴tan∠ACO=tan∠CBO=,
∴∠ACO=∠CBO.
∵∠AOC=∠COB=90°,
∴△AOC∽△COB.
(3)設BC解析式為y=kx+b,
把(8,0),(0,4)分別代入解析式得,
,解得,
解得y=﹣x+4,
作DH⊥x軸,交BC于H.
設D(t,﹣t2+t+4),H(t,﹣t+4),
S△BCD=DH•OB=×(﹣t2+t+4+t﹣4)=﹣t2+t=﹣(t2﹣8t+42﹣16)=﹣(t﹣4)2+2,
當t=4時,△DBC的最大面積為2,此時D點坐標為(4,6).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,是由四個相同的小立方體組成的立體圖形的主視圖和左視圖,那么原立體圖形可能是下面四個立體圖形中的( 。
A.①② B.②③ C.②③④ D.①②④
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,某城市中心的兩條公路OM和ON,其中OM為東西走向,ON為南北走向,A、B是兩條公路所圍區(qū)域內的兩個標志性建筑.已知A、B關于∠MON的平分線OQ對稱.OA=1000米,測得建筑物A在公路交叉口O的北偏東53.5°方向上.
求:建筑物B到公路ON的距離.
(參考數(shù)據(jù):sin53.5°=0.8,cos53.5°=0.6,tan53.5°≈1.35)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,等邊三角形OBC的邊長為10,點P沿O→B→C→O的方向運動,⊙P的半徑為.⊙P運動一圈與△OBC的邊相切 次,每次相切時,點P到等邊三角形頂點最近距離是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為點D,AN是△ABC外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為點E,連接DE交AC于點F.
(1)求證:四邊形ADCE為矩形;
(2)當△ABC滿足什么條件時,四邊形ADCE是一個正方形?并給出證明.
(3)在(2)的條件下,若AB=AC=2,求正方形ADCE周長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,函數(shù)y=2x和y=ax+4的圖象相交于點A(m,3),則不等式2x<ax+4的解集為( )
A. x< B. x<3 C. x> D. x>3
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
下列語句正確的是 ( )
A.在所有聯(lián)結兩點的線中,直線最短
B.線段A曰是點A與點B的距離
C.三條直線兩兩相交,必定有三個交點
D.在同一平面內,兩條不重合的直線,不平行必相交
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
某校九(1)、九(2)兩班的班長交流了為四川雅安地震災區(qū)捐款的情況:
(1)九(1)班班長說:“我們班捐款總數(shù)為1 200元,我們班人數(shù)比你們班多8人.”
(2)九(2)班班長說:“我們班捐款總數(shù)也為1 200元,我們班人均捐款比你們班人均捐款多20%.”請根據(jù)兩個班長的對話,求這兩個班級每班的人均捐款數(shù).
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