Question

如圖，已知拋物線y=﹣+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知B點的坐標為B（8，0）．

（1）求拋物線的解析式及其對稱軸方程．

（2）連接AC、BC，試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由．

（3）在拋物線上BC之間是否存在一點D，使得△DBC的面積最大？若存在請求出點D的坐標和△DBC的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 

考點： 二次函數(shù)綜合題． 

分析： （1）直接把點B（8，0）代入拋物線y=﹣+bx+4，求出b的值即可得出拋物線的解析式，進而可得出其對稱軸方程；

（2）求出A點坐標，再由銳角三角函數(shù)的定義得出tan∠ACO=tan∠CBO，故∠ACO=∠CBO，由此可得出結論；

（3）求出BC解析式，將S_△BCD轉化為DH•OB，設D（t，﹣t²+t+4），H（t，﹣t+4），面積可轉化為S_△BCD=﹣（t﹣4）²+2，△DBC的最大面積為2，此時D點坐標為（4，6）．

解答： 解：（1）∵B點的坐標為B（8，0），

∴﹣16+8b+4=0，解得b=，

∴拋物線的解析式為y═﹣+x+4，

對稱軸方程為x=﹣=3；

 

（2）∵由（1）知，拋物線的對稱軸方程為x=3，B（8，0）

∴A（﹣2，0），C（0，4），

∴OA=2，OC=4，OB=8，

∴tan∠ACO=tan∠CBO=，

∴∠ACO=∠CBO．

∵∠AOC=∠COB=90°，

∴△AOC∽△COB．

 

（3）設BC解析式為y=kx+b，

把（8，0），（0，4）分別代入解析式得，

，解得，

解得y=﹣x+4，

作DH⊥x軸，交BC于H．

設D（t，﹣t²+t+4），H（t，﹣t+4），

S_△BCD=DH•OB=×（﹣t²+t+4+t﹣4）=﹣t²+t=﹣（t²﹣8t+4²﹣16）=﹣（t﹣4）²+2，

當t=4時，△DBC的最大面積為2，此時D點坐標為（4，6）．