Question

如圖，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點（-1，2），與y軸交于（0，2）點，且與x軸交點的橫坐標分別為x₁、x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，下列結論：①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③a＜-1；④b²+8a＞4ac．其中正確的有（ ）
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：①將x=-2代入y=ax²+bx+c，可以結合圖象得出x=-2時，y＜0；
②由y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點（-1，2），a-b+c=2，與y軸交于（0，2）點，c=2，從而得出a-b=0，二次函數的開口向下，a＜0，∴2a-b＜0；
③根據函數與x軸交點的橫坐標分別為x₁、x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，可以得出兩根的近似值，從而代入函數解析式，得出a，b，的值；得出a＜-1；
④利用③的解析式得出，b²+8a＞4ac．
解答：解：二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點（-1，2），與y軸交于（0，2）點，且與x軸交點的橫坐標分別為x₁、x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，下列結論
①4a-2b+c＜0；當x=-2時，y=ax²+bx+c，y=4a-2b+c，
∵-2＜x₁＜-1，∴y＜0，故①正確；

②2a-b＜0；
∵二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點（-1，2），
∴a-b+c=2，與y軸交于（0，2）點，c=2，
∴a-b=0，二次函數的開口向下，a＜0，
∴2a-b＜0，故②正確；

③已知拋物線經過（-1，2），即a-b+c=2（1），由圖知：當x=1時，y＜0，即a+b+c＜0（2），
由①知：4a-2b+c＜0（3）；聯立（1）（2），得：a+c＜1；聯立（1）（3）得：2a-c＜-4；
故3a＜-3，即a＜-1；所以③正確


④由于拋物線的對稱軸大于-1，所以拋物線的頂點縱坐標應該大于2，即：
＞2，由于a＜0，所以4ac-b²＜8a，即b²+8a＞4ac，故④正確，
故選：D．
點評：此題主要考查了拋物線與x軸的交點坐標性質，以及利用函數圖象得出函數與坐標軸的近似值，進而得出函數解析式，這種題型是中考中新題型．