Question

【題目】已知的周長為28，過點分別作，交直線于點，，交直線于點，若，，則的長為____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

根據∠A為銳角或∠D為銳角分情況進行討論，由ABCD的周長為28，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，且DE=3，DF=4，構造方程求解即可求得答案．

對于平行四邊形ABCD有兩種情況：

當∠A為銳角時，如圖1，

設BC=a，AB=b，

∵平行四邊形ABCD，DE⊥AB，DF⊥BC，

∴AB×DE=BC×DF，AB=CD，BC=DA，

又∵DE=3，DF=4，

∴3a=4b，

∵平行四邊形ABCD的周長為28，

∴2（a+b）=28，

∴a+b=14，

則，

解得：，

∴BC=8，AB=6，

∴AB=CD=6，AD=BC=8，

∴在Rt△CDE中，CE=3，

∴BE=BC-CE=8-3，

∴在Rt△ADF中，AF=4，

∵F點在AB的延長線上，

∴BF=AF-AB=4-6，

∴BE+BF=（8-3）+（4-6）=2+；

當∠D為銳角時，如圖2，

設BC=a，AB=b，

∵平行四邊形ABCD，DE⊥BC，DF⊥AB，

∴AB×DF=BC×DE，AB=CD，BC=DA，

又∵DE=3，DF=4，

∴3a=4b，

∵平行四邊形ABCD的周長為28，

∴2（a+b）=28，

∴a+b=14，

解方程組，

解得：，

∴BC=8，AB=6，

∴AB=CD=6，AD=BC=8，

∴在Rt△CDE中，CE=3，

∴BE=BC+CE=8+3，

∴在Rt△ADF中，AF=4，

∵F點在AB的延長線上，

∴BF=AF+AB=4+6，

∴BE+BF=（8+3）+（4+6）=14+7，

故答案為：2+或14+7．