Question

【題目】如圖，一次函數(shù) 分別交y軸、x 軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線 過A、B兩點(diǎn).

（1）求這個拋物線的解析式；
（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于點(diǎn)M，交這個拋物線于點(diǎn)N.求當(dāng)t 取何值時，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 分別交y軸、x軸于A.、B兩點(diǎn)，
∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為：A(0,2)，B(4,0)，
將x=0，y=2代入y=x+bx+c得c=2，
將x=4，y=0，c=2代入y=x+bx+c得0=16+4b+2，解得b= ，
∴拋物線解析式為：
（2）解：如圖1，

由題意可知，直線MN即是直線 ，
∵點(diǎn)M在直線 上，點(diǎn)N在拋物線 上，
∴點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為 、 ，
∵在第一象限中，點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方，
∴MN= ，
∴當(dāng) 時，MN最長=4；
（3）解：由(2)可知，A(0，2)，M(2，1)，N(2，5).
以A. M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，D點(diǎn)的可能位置有三種情形，如圖2所示：

(i)當(dāng)D在y軸上時，設(shè)D的坐標(biāo)為(0，a)
由AD=MN，得|a2|=4，解得a1=6，a2=2，
從而D1為(0，6)或D2(0，2)，
(ii)當(dāng)D不在y軸上時，由圖可知D3為D1N與D2M的交點(diǎn)，
由D1、D2、M、N的坐標(biāo)可求得直線D1N的解析式為：y= x+6，直線D2M的解析式為：y= x2，
由 解得 ，
∴D3的坐標(biāo)為：(4，4)，
綜上所述，所求的D點(diǎn)坐標(biāo)為(0，6)，(0，2)或(4，4)
【解析】（1）先求出直線y=-x+2與x軸、y軸的交點(diǎn)B、A的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式，建立方程求出b、c的值，就可得出二次函數(shù)解析式。
（2）根據(jù)直線x=t，在第一象限交直線AB于點(diǎn)M，交這個拋物線于點(diǎn)N，可知點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)都為t，根據(jù)兩函數(shù)解析式可得出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再根據(jù)MN=點(diǎn)N的縱坐標(biāo)-點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，列出MN關(guān)于t的函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到MN有最大值時t的值即MN的長。
（3）抓住已知條件在（2）的情況下MN=4，要以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，根據(jù)點(diǎn)D的位置情況分兩種：當(dāng)(i)當(dāng)D在y軸上時，設(shè)D的坐標(biāo)為(0，a)，根據(jù)MN=4即|a2|=4，求出a的值，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)由兩個；(ii)當(dāng)D不在y軸上時，即是以MN為平行四邊形的對角線時，可知D3為D1N與D2M的交點(diǎn)，再求出直線D1N的解析式和直線D2M的解析式，然后將兩一次函數(shù)解析式聯(lián)立方程組求解即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)。