原題:“如圖1,正方形ABCD中,BG是外角∠CBH的角平分線(xiàn),E是AB上一點(diǎn)(不與A、B重合),EF⊥DE交BG于F,求證:DE=EF.”
證明的思路是:在A(yíng)D上取一點(diǎn)M,使AM=AE,連接ME,由AAS可得△DME≌△EBF.
閱讀了以上材料后,請(qǐng)你解答下列問(wèn)題:
(1)如圖2,如果將原題中的條件“正方形”改為“正三角形”,“EF⊥DE”改為“∠DEF=60°”,其它條件不變,原題的結(jié)論還成立嗎?如果成立請(qǐng)給出正面,如果不成立請(qǐng)給出反例.
(2)如果將原題中的條件“正方形”改為“正五邊形”,請(qǐng)你模仿原題寫(xiě)出一個(gè)真命題,并在圖3中畫(huà)出相應(yīng)的圖形.
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分析:(1)在A(yíng)D上取一點(diǎn)M,使AM=AE,連接ME,根據(jù)△MDE≌△BEF(ASA)來(lái)推出結(jié)論:DE=EF;
(2)在A(yíng)D上取一點(diǎn)M,使AM=AE,連接ME,求出正五邊形ABCMN的內(nèi)角等于108°(
n-2
n
×180°),在等腰三角形AME中求得∠AEM=∠AME=
180-108
2
=36°,再根據(jù)三角形的外角得∠NME=108°+36°=144°,BG是外角∠CBH的角平分線(xiàn),所以很容易求得∠DME=∠EBF,∵∠FEB+∠DEF=∠DAE+∠ADE,∴∠ADE=∠FEB,到這里,證明△MDE≌△BEF(ASA)就不難了,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明DE=EF.
解答:解:(1)原結(jié)論還成立,即DE=EF.
在A(yíng)D上取一點(diǎn)M,使AM=AE,連接ME,
(1分)∵△ABD是等邊三角形,
∵∠A=60°,AM=AE,∴∠AEM=∠AME=60°
∴∠DME=60°+60°=120°,
∵∠DBH=120°,BG平分∠DBH,∴∠EBF=60°+60°=120°,
∴∠DME=∠EBF(3分)
∵∠DEF=60°,
∴∠DAE=∠DEF,
∴∠FEB+∠DEF=∠DAE+∠ADE,
∴∠ADE=∠FEB,(5分)
又∵DM=EB,∴△MDE≌△BEF,∴DE=EF.(6分)
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(2)如圖,正五邊形ABCMN中,E在A(yíng)B上,F(xiàn)在外角
∠CBH的角平分線(xiàn)上,∠NEF=108°,那么NE=EF.
證明:在A(yíng)D上取一點(diǎn)M,使AM=AE,連接ME,(1分)
在正五邊形ABCMN中,
∵∠A=
5-2
5
×180=108°,AM=AE,∴∠AEM=∠AME=
180-108
2
=36°,
∴∠NME=108°+36°=144°,
∵∠CBH=180-108=72°,BG平分∠CBH,∴∠EBF=108°+36°=144°,
∴∠DME=∠EBF(3分)
∵∠NEF=108°,
∴∠DAE=∠DEF,
∴∠FEB+∠DEF=∠DAE+∠ADE,
∴∠ADE=∠FEB,(5分)
又∵DM=EB,∴△MDE≌△BEF,∴DE=EF.(6分)
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角與外角以及正方形的性質(zhì).
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原題:如圖1,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,連接EF,則EF=BE+DF,試說(shuō)明理由.

(1)思路梳理
∵AB=AD,
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,點(diǎn)F、D、G共線(xiàn).
根據(jù)
SAS
SAS
,易證△AFG≌
△AEF
△AEF
,得EF=BE+DF.
(2)類(lèi)比引申
如圖2,四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,則當(dāng)∠B與∠D滿(mǎn)足等量關(guān)系
∠B+∠D=180°
∠B+∠D=180°
時(shí),仍有EF=BE+DF.
(3)聯(lián)想拓展
如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC應(yīng)滿(mǎn)足的等量關(guān)系,并寫(xiě)出推理過(guò)程.

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原題:如圖1,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,連接EF,則EF=BE+DF,試說(shuō)明理由。

(1)思路梳理

∵AB=CD,

∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合。

∵∠ADC=∠B=90°,

∴∠FDG=180°,點(diǎn)F、D、G共線(xiàn)。

根據(jù)    ,易證△AFG≌    ,得EF=BE+DF。

(2)類(lèi)比引申

如圖2,四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角,則當(dāng)∠B與∠D滿(mǎn)足等量關(guān)系    時(shí),仍有EF=BE+DF。

(3)聯(lián)想拓展

如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC應(yīng)滿(mǎn)足的等量關(guān)系,并寫(xiě)出推理過(guò)程。

 

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(1)如圖2,如果將原題中的條件“正方形”改為“正三角形”,“EF⊥DE”改為“∠DEF=60°”,其它條件不變,原題的結(jié)論還成立嗎?如果成立請(qǐng)給出正面,如果不成立請(qǐng)給出反例.
(2)如果將原題中的條件“正方形”改為“正五邊形”,請(qǐng)你模仿原題寫(xiě)出一個(gè)真命題,并在圖3中畫(huà)出相應(yīng)的圖形.

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(2)如果將原題中的條件“正方形”改為“正五邊形”,請(qǐng)你模仿原題寫(xiě)出一個(gè)真命題,并在圖3中畫(huà)出相應(yīng)的圖形.

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