Question

【題目】四邊形ABCD是正方形（提示：正方形四邊相等，四個角都是90°）
（1）如圖1，若點G是線段CD邊上任意一點（不與點C、D重合），連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，求證：△ABF≌△DAE．

（2）如圖2，若點G是線段CD延長線上任意一點，連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，判斷線段EF與AF、BF的數(shù)量關(guān)系，并證明．

（3）若點G是直線BC上任意一點（不與點B、C重合），連接AG，作BF⊥AG于點F，DE⊥AG于點E，探究線段EF與AF、BF的數(shù)量關(guān)系．（請畫圖、不用證明、直接寫答案）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠DAB=90°，

∴∠DAE+∠BAE=90°，

∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠AED=∠AFB=90°，

∴∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠BAF，

∵在△ABF和△DAE中

，

∴△ABF≌△DAE（AAS）

（2）

解：EF=AF+BF，

理由是：如圖2，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠DAB=90°，

∴∠DAE+∠BAF=180°﹣90°=90°，

∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠AED=∠AFB=90°，

∴∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠BAF，

∵在△ABF和△DAE中

，

∴△ABF≌△DAE（AAS）；

∴AE=BF，

∴EF=AE+AF=AF+BF

（3）

解：如圖3所示：

∵BF⊥AG，DE⊥AG，

∴∠BFA=∠DEA=90°．

∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，

∴∠EAD=∠FBA．

在△ABF和△DAE中，

∵ ，

∴△ABF≌△DAE（AAS）．

∴FB=AE．

∵AE=EF+AF，

∴EF=BF﹣AF．

如圖4，∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠BFA=∠DEA=90°．

∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，

∴∠EAD=∠FBA．

在△ABF和△DAE中，

∵ ，

∴△ABF≌△DAE（AAS）．

∴AE=BF．

∵AE+EF=AF，

∴EF=AF﹣BF；

如圖5，

∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠BFA=∠DEA=90°．

∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，

∴∠EAD=∠FBA．

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（AAS）．

∴AE=BF．

∵AE+AF=EF，

∴EF=AF+BF．

【解析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=AD，∠DAB=90°，根據(jù)垂直定義得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根據(jù)AAS證出兩三角形全等即可；（2）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=AD，∠DAB=90°，根據(jù)垂直定義得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根據(jù)AAS證出兩三角形全等即可，根據(jù)全等得出AE=BF，代入即可求出答案；（3）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=AD，∠DAB=90°，根據(jù)垂直定義得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根據(jù)AAS證出兩三角形全等即可，結(jié)合G點可能在BC延長線上以及在線段BC上和在CB延長線上分別得出答案．