Question

求證：一個(gè)十進(jìn)制數(shù)被9除的余數(shù)等于它的各位數(shù)字之和被9除的余數(shù)．

Answer 1

分析：根據(jù)10^k≡1^k=1（mod9），得出十進(jìn)制數(shù)等于a_n×10ⁿ+a_n-1×10^n-1+…+a₁×10+a₀≡a_n+a_n-1+…+a₁+a₀（mod9），從而得證．

解答：證明：設(shè)這個(gè)十進(jìn)制數(shù)A=

.

anan-1…a2a1a0

，
∵10≡1（mod9），
故對(duì)任何整數(shù)k≥1，有
10^k≡1^k=1（mod9）．
因此
A=

.

anan-1…a2a1a0

，
=a_n×10ⁿ+a_n-1×10^n-1+…+a₁×10+a₀，
≡a_n+a_n-1+…+a₁+a₀（mod9），
即A被9除的余數(shù)等于它的各位數(shù)字之和被9除的余數(shù)．
∴一個(gè)十進(jìn)制數(shù)被9除的余數(shù)等于它的各位數(shù)字之和被9除的余數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了同余問題的性質(zhì)，特別地，一個(gè)數(shù)能被9整除的充要條件是它的各位數(shù)字之和能被9整除，算術(shù)中的“棄九驗(yàn)算法”就是依據(jù)本題的結(jié)論．