Question

【題目】(2016四川省樂(lè)山市第23題)如圖1，四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=．

（1）求CD邊的長(zhǎng)；

（2）如圖2，將直線CD邊沿箭頭方向平移，交DA于點(diǎn)P，交CB于點(diǎn)Q （點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止），設(shè)DP=x，四邊形PQCD的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）．

【解析】

試題分析：（1）分別延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E，在Rt△ABE中，解直角三角形可得BE，EC，AE的長(zhǎng)，又∠E+∠A=90°，∠E+∠ECD=90°，得到∠A=∠ECD，由tanA=，得到cosA= cos∠ECD =，從而得到CD的長(zhǎng)；

（2）由（1）可知tan∠ECD=，得到ED=，由PQ∥DC，可知△EDC∽△EPQ，得到PQ=，由，得到y(tǒng)=，而當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P在M點(diǎn)處，由EC=BC，DC∥PQ，得到DM=ED=，故可得自變量x的取值范圍．

試題解析：（1）如圖1，分別延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E，在Rt△ABE中，∵tanA=，AB=3，BC=2，∴BE=4，EC=2，AE=5，又∠E+∠A=90°，∠E+∠ECD=90°，∴∠A=∠ECD，∵tanA=，∴cosA=，∴cos∠ECD=，∴CD=；

（2）由（1）可知tan∠ECD=，∴ED=，如圖2，由PQ∥DC，可知△EDC∽△EPQ，∴，∴，即PQ=，∵，∴，即=，∴當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P在M點(diǎn)處，由EC=BC，DC∥PQ，∴DM=ED=，∴自變量x的取值范圍為：．