Question

【題目】把三角形紙片放置在平面直角坐標系中，點(，)，點在軸的正半軸上，且．

（1）如圖①，求，的長及點的坐標；

（2）如圖②，點是的中點，將△沿翻折得到△，

①求四邊形的面積；

②求證：△是等腰三角形；

③求的長（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（1）OA＝4，AB＝3，B（5，0）；（2）①四邊形的面積為6；②見解析；③OD＝．

【解析】

（1）過A作AH⊥OB于H，根據(jù)A點坐標及求出OH、AH和HB的長，利用勾股定理可得，的長，同時可得點的坐標；

（2）①求出的面積，即可得到四邊形的面積；

②根據(jù)勾股定理逆定理可得是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出AC＝BC即可得證；

③連接BD交AC于F，證明OD∥AC，可得CF是△OBD的中位線，設CF＝x，則AF＝，根據(jù)勾股定理構建方程求出x即可解決問題．

解：（1）如圖，過A作AH⊥OB于H，

∵(，)，，

∴OH＝，AH＝，HB＝5－，

∴，，B點坐標為（5，0）；

（2）①由（1）可知△ABC的邊BC上的高為，BC＝，

∴，

∵將沿翻折得到，

∴四邊形的面積＝2；

②∵OA＝4，AB＝3，OB＝5，

∴AB2＋OA2＝OB2，

∴是直角三角形，

∵點是的中點，

∴AC＝BC＝OC，即是等腰三角形；

③連接BD交AC于F，

由折疊的性質(zhì)可得：BD⊥AC，CB＝CD＝，AD＝AB＝3，∠ACD＝∠ACB，

∴AC＝BC＝OC＝CD＝，

∴∠COD＝∠CDO，

∵∠COD＋∠CDO＋∠OCD＝180°，∠ACD＋∠ACB＋∠OCD＝180°，

∴∠ACB＝∠COD，

∴OD∥AC，

∵點是的中點，

∴CF是△OBD的中位線，即OD＝2CF，

設CF＝x，則AF＝，

由勾股定理得：DF2＝CD2－CF2，DF2＝AD2－AF2，

∴，

解得：，

∴OD＝2CF＝．