精英家教網(wǎng)如圖所示,O為正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC交DC于點(diǎn)E,延長BC到點(diǎn)F,使FC=EC,連接DF交BE的延長線于點(diǎn)H,連接OH交DC于點(diǎn)G,連接HC.則下列結(jié)論:①OH∥BF;②∠CHF=45°;③GH=
1
4
BC;④FH2=HE•HB,正確的是( 。
A、①②③B、②③④
C、①②④D、①③④
分析:由正方形的性質(zhì)易證Rt△BCE≌Rt△DCF,則∠CBE=∠CDF,利用三角形內(nèi)角和定理可得到∠EHD=∠BCE=90°,而BE平分∠DBC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BH平分DF,即HD=HF,易得OH為△DBF的中位線,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得OH∥BF,則①正確;CH點(diǎn)為Rt△DCF斜邊DF上的中線,得到HD=HF=HC,則∠CDH=∠DCH,可得到∠CHF=∠CDF+∠DCH=2×22.5°=45°,②正確;在Rt△DGH中,∠GDH=22.5°,tan∠GDH=tan22.5°=
GH
DG
1
2
,易證得GH≠
1
4
BC,則④不正確;易證△HEC∽△HCB,則HC:HB=HE:HC,即HC2=HE•HB,由HC=HF,即可得到④正確.
解答:解:∵四邊形ABCD為正方形,
∴CD=CB,
而FC=CE,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF,
∴∠CBE=∠CDF,
而∠BEC=∠DEH,
∴∠EHD=∠BCE=90°,即BH⊥DF,
∵BE平分∠DBC,
∴BH平分DF,即HD=HF,
而點(diǎn)O為正方形ABCD的中心,即OD=OB,
∴OH為△DBF的中位線,
∴OH∥BF,則①正確;
∵CH點(diǎn)為Rt△DCF斜邊DF上的中線,
∴HD=HF=HC,
∴∠CDH=∠DCH,
而∠CBE=∠CDF=
1
2
∠DBC=22.5°,
∴∠CHF=∠CDF+∠DCH=2×22.5°=45°,則②正確;
∵GH∥CF,HD=HF,
∴DG=GC=
1
2
DC=
1
2
BC,
在Rt△DGH中,∠GDH=22.5°,
tan∠GDH=tan22.5°=
GH
DG
1
2
,
∴GH≠
1
2
DG,
∴GH≠
1
4
BC,則③不正確;
∵∠ECH=∠CBH,∠CHE=CHB,
∴△HEC∽△HCB,
∴HC:HB=HE:HC,即HC2=HE•HB,
而HC=HF,
∴HF2=HC•HB,則④正確;
故選C.
點(diǎn)評:本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì):有兩組角對應(yīng)相等的三角形相似;相似三角形的對應(yīng)邊的比相等.也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及三角形中位線性質(zhì).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且PA:PB:PC=1:1:
3
,則∠APB的度數(shù)是( 。
A、120B、135
C、150D、175

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖所示,E為正方形ABCD外一點(diǎn),AE=AD,∠ADE=75°,則∠AEB=
30°
30°

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•皇姑區(qū)一模)如圖所示,ABCD為正方形.
(1)如圖1,點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心,問:DP與DA有何數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論.
(2)如圖2,若點(diǎn)E在CB邊上(不與點(diǎn)C、B重合),點(diǎn)F在BA的延長線上,AF=CE,點(diǎn)P為△FBE的內(nèi)心,則DP與DF有何數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論.
(3)如圖3,若點(diǎn)E在CB延長線上(不與點(diǎn)B重合),點(diǎn)F在BA的延長線上,AF=CE,點(diǎn)P是△FEB中與∠FEB、∠FBE相鄰的兩個外角平分線的交點(diǎn),完成圖3,判斷DP與DF之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)論,不證明).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:第24章《相似形》中考題集(07):24.3 相似三角形的性質(zhì)(解析版) 題型:選擇題

如圖所示,O為正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC交DC于點(diǎn)E,延長BC到點(diǎn)F,使FC=EC,連接DF交BE的延長線于點(diǎn)H,連接OH交DC于點(diǎn)G,連接HC.則下列結(jié)論:①OH∥BF;②∠CHF=45°;③GH=BC;④FH2=HE•HB,正確的是( )

A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④

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