Question

如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE．
（1）求證：△ABE≌△DFA；
（2）如果AD=10，AB=6，求cos∠EDF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AD∥BC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AEB=∠DAF，然后利用“角角邊”證明△ABE和△DFA全等；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=AB，利用勾股定理列式求出AF的長(zhǎng)度，從而得到EF的長(zhǎng)度，再利用勾股定理列式求出DE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)余弦=列式計(jì)算即可得解．
解答：（1）證明：在矩形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∵AE=BC，
∴AE=AD，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠B=90°，
在△ABE和△DFA中，
∵，
∴△ABE≌△DFA（AAS）；

（2）解：根據(jù)（1）△ABE≌△DFA，
∴DF=AB=6，
在Rt△ADF中，AF===8，
∴EF=AE-AF=10-8=2，
在Rt△DEF中，DE===2，
∴cos∠EDF===．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)，準(zhǔn)確識(shí)圖找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．