【題目】如圖,△ABC中,∠ABC=30,BC=4,AB=,將邊AC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)120得到AD,則BD的長為_______________.
【答案】.
【解析】
如圖,將AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°至接EA,EC,過A作AM⊥BE于M點,過E作 EF⊥BC于點F,易證△EAC≌△BAD,則BD=EC,根據(jù)題意可得,E、 A、F三點共線,并求得BF,EF,CF的值,最后用勾股定理求得EC即可完成解答.
解:如圖: 將AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°至接EA,EC,過A作AM⊥BE于M點,過A作 AF⊥BC于點F
∴∠BAE=∠DAC
∴∠BAD=∠EAC
又∵AE=BA,AC=AD
∴△EAC≌△BAD(SAS)
∴BD=EC
∵∠ABC=30, AB=
∴AF=,AE=,FC=
∵∠ABC=30,AF⊥BC
∴∠BAF=60
∵∠BAF=120
∴E、 A、F三點共線,
∴EF=AE+AF=
∴BD=EC=
故答案為.
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD,E、F兩點在對角線BD上,且BE=DF,連接AE,EC,CF,FA.
(1)求證:四邊形AECF是平行四邊形.
(2)若AF=EF,∠BAF=108°,∠CDF=36°,直接寫出圖中所有與AE相等的線段(除AE外).
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【題目】如圖①,在菱形ABCD中,動點P從點B出發(fā),沿折線B→C→D→B運(yùn)動.設(shè)點P經(jīng)過的路程為x,△ABP的面積為y.把y看作x的函數(shù),函數(shù)的圖象如圖②所示,則圖②中的b等于( )
A. B. C. 5D. 4
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【題目】如圖,直線與x軸交于點B,與y軸交于點C,拋物線經(jīng)過B、C兩點,且與x軸交于另一點A.
(1)求拋物線的解析式.
(2)點P是線段BC下方的拋物線上的動點(不與點B、C重合),過P作PD∥y軸交BC于點D,以PD為直徑的圓交BC于另一點E,求DE的最大值及此時點P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)(2)中的DE取最大值時,將△PDE繞點D旋轉(zhuǎn),當(dāng)點P落在坐標(biāo)軸上時,求點E的坐標(biāo).
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【題目】綜合與實踐
情景再現(xiàn)
我們動手操作:把正方形ABCD,從對角線剪開就分剪出兩個等腰直角三角形,把其中一個等腰三角形與正方形ABCD重新組合在一起,圖形變得豐富起來,當(dāng)圖形旋轉(zhuǎn)時問題也隨旋轉(zhuǎn)應(yīng)運(yùn)而生.
如圖①把正方形ABCD沿對角線剪開,得兩個等腰直角三角形△ACD和△BCE,
(1)問題呈現(xiàn)
我們把剪下的兩個三角形一個放大另一個縮小拼成如圖②所示
①點P是一動點,若AB=3,PA=1,當(dāng)點P位于_ __時,線段PB的值最小;若AB=3,PA=5,當(dāng)點P位于__ _時,線段PB有最大值.PB的最大值和最小值分別是______.
②直接寫出線段AE與DB的關(guān)系是_ ________.
(2)我們把剪下的其中一個三角形放大與正方形組合如圖③所示,點E在直線BC上,FM⊥CD交直線CD于M.
①當(dāng)點E在BC上時,通過觀察、思考易證:AD=MF+CE;
②當(dāng)點E在BC的延長線時,如圖④所示;
當(dāng)點E在CB的延長線上時,如圖⑤所示,
線段AD、MF、CE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想,并選擇圖④或圖⑤證明你的猜想.
問題拓展
(3)連接EM,當(dāng)=8,=50,其他條件不變,直接寫出線段CE的長_______.
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【題目】如圖,△ABC的兩條中線BD、CE交于點F.
(1) = _______;
(2)若BE2 = EFEC,且 = ,EF =,求DE的長;
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【題目】如圖,正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都內(nèi)接于⊙O,EF 與 BC,CD 分別相交于點 G,H,則 的值為( )
A.B.C.D.2
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【題目】如圖,已知△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A(3,0),B(0,4),C(-3,0),動點M,N同時從A點出發(fā),N沿A→C,M沿折線A→B→C,均以每秒1個單位長度的速度移動,當(dāng)一個動點到達(dá)終點C時,另一個動點也隨之停止移動,移動時間記為t秒.連接MN.
(1)移動過程中,將△ABC沿直線MN折疊,若點A恰好落在BC邊上的點D處,求此時t的值.
(2)當(dāng)點M,N移動時,記△ABC在直線MN右側(cè)部分的面積為S,求S關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式.
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【題目】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行,并以各自的速度勻速行駛,兩車在相遇之前同時改變了一次速度,并同時到達(dá)各自目的地,兩車距B地的路程y(km)與出發(fā)時間x(h)之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)分別求甲、乙兩車改變速度后y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若m=1,分別求甲、乙兩車改變速度之前的速度;
(3)如果兩車改變速度時兩車相距90km,求m的值.
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