Question

【題目】已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A（4，0），C（0，﹣4），另有一點B（﹣2，0）．

（1）求一次函數(shù)解析式；
（2）聯(lián)結(jié)BC，點P是反比例函數(shù)y= 的第一象限圖象上一點，過點P作y軸的垂線PQ，垂足為Q．如果△QPO與△BCO相似，求P點坐標(biāo)；
（3）聯(lián)結(jié)AC，求∠ACB的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（4，0），C（0，﹣4）代入y=kx+b可得

，解得 ，

∴一次函數(shù)解析式為y=x﹣4

（2）

解：設(shè)P點坐標(biāo)為（x， ），

∵，∠PQO=∠BOC=90°，

∴當(dāng)△POQ和△BCO時是有∠BCO=∠POQ或∠BCO=∠OPQ，

①當(dāng)∠BCO=∠POQ時，則tan∠BCO=tan∠POQ，

∴ = ，解得x=2 或x=﹣2 （舍去），

∴P點坐標(biāo)為（2 ， ）；

②當(dāng)∠BCO=∠OPQ時，則tan∠BCO=tan∠OPQ，

∴ = ，解得x= 或x=﹣ （舍去），

∴P點坐標(biāo)為（ ，2 ）；

綜上可得P點坐標(biāo)為（2 ， ）或（ ，2 ）

（3）

解：作AD⊥BC交BC于D，如圖，

∵A（4，0），C（0，﹣4），B（﹣2，0），

∴AC=4 ，BC= =2

∵S△ABC= ABOC= BCAD，

∴6×4=2 AD，

∴AD ，

∴在Rt△ADC中，sin∠ACB= = =

【解析】（1）把A、C兩點的坐標(biāo)代入可求得一次函數(shù)解析式；（2）可設(shè)出P點坐標(biāo)為（x， ），由△POQ和△BCO相似可知有兩種情況，當(dāng)∠BCO=∠POQ時，利用兩角的正切值相等，可得到關(guān)于x的方程，可求得x的值，可得P點坐標(biāo)；當(dāng)∠BCO=∠OPQ時，同理可求得P點坐標(biāo)；（3）作AD⊥BC于點D，由△ABC的面積可求得AD的長，且可求得AC的長，在Rt△ADC中，可求得∠ACB的正弦值．
【考點精析】關(guān)于本題考查的一次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，需要了解一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小；一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經(jīng)過原點一直線；兩個系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠才能得出正確答案．