如圖（1），一正方形紙板ABCD的邊長為4，對角線AC、BD交于點O，一塊等腰直角三角形的三角板的一個頂點處于點O處，兩邊分別與線段AB、AD交于點E、F，設(shè)BE=．
（1）若三角板的直角頂點處于點O處，如圖（2）．判斷三角形EOF的形狀，并說明理由。

（2）在（1）的條件下，若三角形EOF的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。
（3）若三角板的銳角頂點處于點O處，如圖（3）．

①若DF=，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
②探究直線EF與正方形ABCD的內(nèi)切圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

如圖，△ABC是格點三角形（三角形的三個頂點都是小正方形的頂點）。

（1）將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CDE.寫出點B對應(yīng)點D和點A對應(yīng)點E的坐標(biāo)。
(2) 若以格點P、A、B為頂點的三角形與△CDE相似但不全等，請寫出符合條件格點P的坐標(biāo)。

如圖，△ABC的高AD=4，BC=8,MNPQ是△ABC中任意一個內(nèi)接矩形

（1）設(shè)MN=x，MQ=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)MN=x,矩形MNPQ的面積為s，求s與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)MN為多大時，矩形MNPQ面積s有最大值，最大值為多少？

（4分）如圖，在△ABD和△AEC中，E為AD上一點，若∠DAC =∠B，∠AEC =∠BDA. 求證：.

已知：梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，BE⊥CD于點E．DP⊥CB于點P,連接AP、PE.如圖1，若∠C=45°，求證：AP= AE．

如圖2，若∠C=60°，直接寫出線段AP、AE的數(shù)量關(guān)系                   ．
在（1）的條件下，將線段EA繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到線段EA′，使∠DEA′=∠DAE,直線EA′分別與線段BA延長線、線段BC交于點N、點K,已知AD=1,EK=.求線段NE的長．

如圖，在4×4的正方形方格中，△ABC的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上。請你在圖中畫出一個與△ABC相似的△DEF，使得△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上，且△ABC與△DEF的相似比為1∶2。

已知點A，B分別是兩條平行線m，n上任意兩點，C是直線n上一點，且∠ABC=90°，點E在AC的延長線上，BC=kAB（k≠0）．
（1）當(dāng)k=1時，在圖（1）中，作∠BEF=∠ABC，EF交直線m于點F．寫出線段EF與EB的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（2）若k≠1，如圖（2），∠BEF=∠ABC，其它條件不變，探究線段EF與EB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

如圖，點D、E分別是△ABC的邊AC、AB上的點，AC·AD＝AB·AE．

（1）△ADE與△ABC相似嗎？請你說明理由；
（2）若AD＝3，AB＝6，DE＝4，求BC的長．

如圖，九（1）班同學(xué)到野外上數(shù)學(xué)活動課，為測量一條河的寬度，先在河的一岸平地上取一條線段BC，點A在河的對岸，AB⊥BC；在線段BC上選取一點D，以CD為一條直角邊構(gòu)造Rt△ECD，使點E在直線AD上．經(jīng)測量BD＝120m，DC＝60m， EC＝50m，請你幫助九（1）班同學(xué)求出河寬AB．

如圖，直角三形紙片ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．折疊該紙片使點B與點C重合，折痕與AB、BC的交點分別為D、E. 則sin∠DAE=    ．