某校研究性學習小組在研究相似圖形時，發(fā)現(xiàn)相似三角形的定義、判定及其性質，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定義：“圓心角相等且半徑和弧長對應成比例的兩個扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性質：弧長比等于半徑比、面積比等于半徑比的平方……．請你協(xié)助他們探索這個問題．

(1)寫出判定扇形相似的一種方法：若________，則兩個扇形相似；

(2)有兩個圓心角相等的扇形，其中一個半徑為a、弧長為m，另一個半徑為2a，則它的弧長為________；

(3)如圖是一完全打開的紙扇，外側兩竹條AB和AC的夾角為120°，AB為30厘米，現(xiàn)要做一個和它形狀相同、面積是它一半的紙扇(如圖)，求新做紙扇(扇形)的圓心角和半徑．

在下圖中，圖(1)是一個扇形AOB，將其作如下劃分：

第一次劃分：如圖(2)所示，以OA的一半OA₁為半徑畫弧，再作∠AOB的平分線，得到扇形的總數(shù)為6個，分別為：扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A₁OB₁、扇形A₁OC₁、扇形C₁OB₁；

第二次劃分：如圖(3)所示，在扇形C₁OB₁中，按上述劃分方式繼續(xù)劃分，可以得到扇形的總數(shù)為11個；

第三次劃分：如圖(4)所示；

……

依次劃分下去．

(1)根據(jù)題意，完成下表：

(2)根據(jù)上表，請你判斷按上述劃分方式，能否得到扇形的總數(shù)為2 005個？為什么？

如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2 cm，AB＝4 cm，分別以AC、BC為直徑作半圓，求圖中陰影部分的面積．

如圖，在相距40 km的兩個城鎮(zhèn)A，B之間，有一個近似圓形的湖泊，其半徑為10 km，圓心恰好位于A，B連線的中點處，現(xiàn)要繞過湖泊從A城到B城，假設除湖泊外，所有的地方均可行走，下面有兩種行走路線，請你通過推理計算，說明哪條路線較短．

圖(1)的路線：線段AC→→線段DB；

圖(2)的路線：線段AE→→線段FB，其中E，F(xiàn)為切點．

如圖，(1)、(2)、(3)、…、(n)分別是⊙O的內接正三角形ABC，正四邊形ABCD，正五邊形ABCDE，…，正n邊形ABCD…，點M、N分別從點B，C開始以相同的速度在⊙O上逆時針運動．

(1)求圖(1)中∠APN的度數(shù)；

(2)圖(2)中，∠APN的度數(shù)是________，圖(3)中∠APN的度數(shù)是________；

(3)試探索∠APN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的關系(直接寫出答案)．

若⊙O的半徑為R，求其內接十二邊形的面積S₁₂．(用含R的代數(shù)式表示)

已知AB為⊙O的內接正十邊形的一邊．若AB＝a，求OA的長．(用含a的代數(shù)式表示)

如圖，圖(1)、(2)、(3)、…、(n)中，M、N分別是⊙O的內接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDE…的邊AB、BC上的點，且BM＝CN，連結OM、ON．

(1)求圖(1)中∠MON的度數(shù)；

(2)圖(2)中∠MON的度數(shù)是________，圖(3)中∠MON的度數(shù)是________；

(3)試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關系(直接寫出答案)．

如圖，在正五角星ABCDE中，BE與AC、AD分別交于M、N．AB＝a，求BM、BN、BE的長．

　　天象圖片欣賞

　　如圖是2004年5月5日2時48分到3時52分在北京拍攝的從初虧到食既的月全食過程．

　　數(shù)學問題解決

　　用數(shù)學的眼光看下圖，可以認為是地球、月球投影(兩個圓)的位置關系發(fā)生了從外切、相交到內切的變化；2時48分月球投影開始進入地球投影的黑影(圖(2))；3時52分，這時月球投影全部進入地球投影的黑影(圖(3))．

　　設照片中的地球投影如圖(1)中半徑為R的大圓⊙O，月球投影如圖(1)中半徑為r的小圓⊙P．求這段時間內圓心距OP與時間t(分)的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍．