已知拋物線拋物線（n為正整數(shù)，且0<a₁<a₂<…<a_n）與x軸的交點為A_n-1（b_n-1,0）和A_n(b_n，0)，當n=1時，第1條拋物線與x軸的交點為A₀（0，0）和A₁（b₁，0），其他依此類推．
（1）求a₁,b₁的值及拋物線y₂的解析式；
（2）拋物線y₃的頂點坐標為（       ，       ）；
依此類推第n條拋物線y_n的頂點坐標為（       ，       ）;
所有拋物線的頂點坐標滿足的函數(shù)關系是       ；
（3）探究下列結論：
①若用A_n-1A_n表示第n條拋物線被x軸截得得線段長，直接寫出A₀A₁的值，并求出A_n-1A_n；
②是否存在經(jīng)過點A（2，0）的直線和所有拋物線都相交，且被每一條拋物線截得得線段的長度都相等？若存在，直接寫出直線的表達式；若不存在，請說明理由．

如圖①，已知拋物線經(jīng)過點A（0，3），B（3，0），C（4，3）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）求拋物線的頂點坐標和對稱軸；
（3）把拋物線向上平移，使得頂點落在x軸上，直接寫出兩條拋物線、對稱軸和y軸圍成的圖形的面積S（圖②中陰影部分）．

已知拋物線與x軸交于點A（1，0），B（3，0），且過點C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；
（2）請你寫出一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點落在直線y=﹣x上，并寫出平移后拋物線的解析式．

如圖，已知拋物線與直線交于點O（0，0），。點B是拋物線上O，A之間的一個動點，過點B分別作ｘ軸、ｙ軸的平行線與直線OA交于點C，E。

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若點C為OA的中點，求BC的長；
（3）以BC，BE為邊構造條形BCDE，設點D的坐標為（ｍ，ｎ），求ｍ，ｎ之間的關系式。

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點為A，與y軸的交點為B，連結AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使AD=AC，連結BD．作AE∥x軸，DE∥y軸．

（1）當m=2時，求點B的坐標；
（2）求DE的長？
（3）①設點D的坐標為（x，y），求y關于x的函數(shù)關系式？②過點D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數(shù)圖象的另一個交點為P，當m為何值時，以，A，B，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？

已知二次函數(shù)（a＞0）的圖象與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點，與y軸交于點C，x₁，x₂是方程的兩根．

（1）若拋物線的頂點為D，求S_△ABC：S_△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函數(shù)的解析式．

如圖，在等邊△ABC中，AB=3，D、E分別是AB、AC上的點，且DE∥BC，將△ADE沿DE翻折，與梯形BCED重疊的部分記作圖形L．

（1）求△ABC的面積；
（2）設AD=x，圖形L的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式；
（3）已知圖形L的頂點均在⊙O上，當圖形L的面積最大時，求⊙O的面積．

如圖，拋物線（a≠0）交x軸于A、B兩點，A點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，4），以OC、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G．

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點）上平行移動，分別交x軸于點E，交CD于點F，交AC于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數(shù)式表示PM的長；
（3）在（2）的條件下，連結PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由。

先閱讀以下材料，然后解答問題：
材料：將二次函數(shù)的圖象向左平移1個單位，再向下平移2個單位，求平移后的拋物線的解析式（平移后拋物線的形狀不變）。
解：在拋物線上任取兩點A（0，3）、B（1，4），由題意知：點A向左平移1個單位得到（，3），再向下平移2個單位得到（，1）；點B向左平移1個單位得到（0，4），再向下平移2個單位得到（0，2）。
設平移后的拋物線的解析式為。
則點（，1），（0，2）在拋物線上。
可得：，解得：。
所以平移后的拋物線的解析式為：。
根據(jù)以上信息解答下列問題：
將直線向右平移3個單位，再向上平移1個單位，求平移后的直線的解析式。

如圖1，已知拋物線C經(jīng)過原點，對稱軸與拋物線相交于第三象限的點M，與x軸相交于點N，且。

（1）求拋物線C的解析式；
（2）將拋物線C繞原點O旋轉180⁰得到拋物線，拋物線與x軸的另一交點為A，B為拋物線上橫坐標為2的點。
①若P為線段AB上一動點，PD⊥y軸于點D，求△APD面積的最大值；
②過線段OA上的兩點E、F分別作x軸的垂線，交折線O－B－A于E₁、F₁，再分別以線段EE₁、FF₁為邊作如圖2所示的等邊△AE₁E₂、等邊△AF₁F2，點E以每秒1個長度單位的速度從點O向點A運動，點F以每秒1個長度單位的速度從點A向點O運動，當△AE₁E₂有一邊與△AF₁F₂的某一邊在同一直線上時，求時間t的值。