【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABOC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊BO在x軸的負(fù)半軸上，，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，x反比例函數(shù)的圖象與菱形對(duì)角線(xiàn)AO交于點(diǎn)D，連接BD，當(dāng)軸時(shí)，k的值是______．

【題目】如圖1，點(diǎn)E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，它們的運(yùn)動(dòng)速度都是，設(shè)P，Q出發(fā)t秒時(shí)，的面積為，已知y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖曲線(xiàn)OM為拋物線(xiàn)的一部分，則下列結(jié)論：；直線(xiàn)NH的解析式為；不可能與相似；當(dāng)時(shí)，秒．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（ ）

A.1B.2C.3D.4

A.1+πB.πC.πD.1+π

例如：如圖1，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，則△BCP∽△ABC，故點(diǎn)P為△ABC的自相似點(diǎn)．

請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合上述材料，解決下列問(wèn)題：

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M是曲線(xiàn)C：上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是x軸正半軸上的任意一點(diǎn)．

（1） 如圖2，點(diǎn)P是OM上一點(diǎn)，∠ONP=∠M, 試說(shuō)明點(diǎn)P是△MON的自相似點(diǎn)； 當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，點(diǎn)N的坐標(biāo)是時(shí)，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)；

（2） 如圖3，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，點(diǎn)N的坐標(biāo)是時(shí)，求△MON的自相似點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3） 是否存在點(diǎn)M和點(diǎn)N,使△MON無(wú)自相似點(diǎn),？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【題目】小明研究了這樣一道幾何題：如圖1，在中，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)問(wèn)邊上的中線(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是什么？以下是他的研究過(guò)程：

特例驗(yàn)證：（1）①如圖2，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系為_______；②如圖3，當(dāng)，時(shí)，則長(zhǎng)為________．

猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在四邊形，，，，，，在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)，使與之間滿(mǎn)足小明探究的問(wèn)題中的邊角關(guān)系？若存在，請(qǐng)畫(huà)出點(diǎn)的位置（保留作圖痕跡，不需要說(shuō)明）并直接寫(xiě)出的邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．

【題目】已知拋物線(xiàn)(m，n 為常數(shù))．

（1）若拋物線(xiàn)的的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) x=1,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-1），求 m，n 的值；

（2）若拋物線(xiàn)上始終存在不重合的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求 n 的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，存在正實(shí)數(shù) a，b( a＜b)，當(dāng) a≤x≤b 時(shí)，恰好有，請(qǐng)直接寫(xiě)出 a，b 的值．

如果函數(shù) y＝f（x）滿(mǎn)足：對(duì)于自變量 x 的取值范圍內(nèi)的任意 x1，x2，

（1）若 x1＜x2，都有 f（x1）＜f（x2），則稱(chēng) f（x）是增函數(shù)；

（2）若 x1＜x2，都有 f（x1）＞f（x2），則稱(chēng) f（x）是減函數(shù)．

例題：證明函數(shù)f（x）＝ （x＞0）是減函數(shù)．

證明：設(shè) 0＜x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）＝．

∵0＜x1＜x2，

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．

∴＞0．即 f（x1）﹣f（x2）＞0．

∴f（x1）＞f（x2）．

∴函數(shù) f（x）= （x＞0）是減函數(shù)．

根據(jù)以上材料，解答下面的問(wèn)題：

已知函數(shù)．

f（﹣1）＝ +（﹣2）＝-1，f（﹣2）＝ +（﹣4）＝．

（1）計(jì)算：f（﹣3）＝ ，f（﹣4）＝ ；

（2）猜想：函數(shù)是 函數(shù)（填“增”或“減”）；

（3）請(qǐng)仿照例題證明你的猜想．

（1）求證：四邊形OCED為矩形；

（2）在BC上截取CF＝CO，連接OF，若AC＝16，BD＝12，求四邊形OFCD的面積．

【題目】如圖，反比例函數(shù) 的圖象與正比例函數(shù) 的圖象相交于(1,),兩點(diǎn)，點(diǎn)在第四象限，∥ 軸，.

(1)求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求的值.

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見(jiàn)到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理，下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理：在△ABC 中，R 和 r 分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O 和 I 分別為其外心和內(nèi)心，則OI R2Rr .

下面是該定理的證明過(guò)程（借助了第(2)問(wèn)的結(jié)論）：

延長(zhǎng)AI 交⊙O 于點(diǎn) D，過(guò)點(diǎn) I 作⊙O 的直徑 MN，連接 DM，AN.

∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所對(duì)的圓周角相等），

∴△MDI∽△ANI.∴，∴ IA ID IM IN ①

如圖②，在圖 1（隱去 MD，AN）的基礎(chǔ)上作⊙O 的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF

∵DE 是⊙O 的直徑，∴∠DBE=90°.

∵⊙I 與 AB 相切于點(diǎn) F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA.

∵∠BAD=∠E（同弧所對(duì)圓周角相等），

∴△AIF∽△EDB．

∴，∴②，

由（2）知：，

∴

又∵，

∴ 2Rr(R d )(R d ) ，

∴ R d 2Rr

∴ d R 2Rr

任務(wù)：（1）觀察發(fā)現(xiàn)： IM R d ， IN （用含R，d 的代數(shù)式表示）；

（2）請(qǐng)判斷 BD 和 ID 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.（請(qǐng)利用圖 1 證明）

（3）應(yīng)用：若△ABC 的外接圓的半徑為 6cm，內(nèi)切圓的半徑為 2cm，則△ABC 的外心與內(nèi)心之間的距離為 　　cm．