Question

1．在圖（a）所示的電路中，電阻值均為R，則A、B兩點之間的等效電阻R_AB=$\frac{7}{12}$R．在圖（b）所示的有限網(wǎng)絡中，每一小段導體的電阻值均為R，則A、B兩點之間的等效電阻R_AB=$\frac{6}{11}$R．

Answer 1

分析 （a）畫出AB間電阻的等效電電路，結(jié)合電阻串并聯(lián)和歐姆定律可得總電阻；
（b）垂直于AB做直線，直線上各點等電勢，可以直接短路，然后根據(jù)并聯(lián)電路的電阻規(guī)律解答．

解答 解：（a）電阻編號如圖：

AB間等效電路為：
，
設電源電壓為U，電路中的干路電流為I，則等效電阻 R_等=$\frac{U}{I}$，對1、2、3、4、5、6、7組成的部分，設靠近A端的電阻R兩端的電壓為k_U（0＜k＜1為待定系數(shù)），則靠近B端的電阻R兩端的電壓同樣是kU，則兩電阻2R兩端的電壓都為（1-k）U，中間電阻2兩端的電壓應為（1-2k）U．
考慮節(jié)點電流，流入電流等于流出電流，則有：
（1-k）$\frac{U}{2R}$+（1-2k）$\frac{U}{R}$=k$\frac{U}{R}$，
解得：
k=$\frac{3}{7}$，
則總電流：
I=k$\frac{U}{R}$+（1-k）$\frac{U}{2R}$，
帶入k=$\frac{3}{7}$，可得：I=$\frac{5U}{7R}$，帶入R_等=$\frac{U}{I}$ 得：
R_等=$\frac{7}{5}$R，
故可知AB等效電阻為：$\frac{1}{{R}_{AB}}$=$\frac{1}{\frac{7}{5}R}$+$\frac{1}{R}$，
解得：
R_AB=$\frac{7}{12}$R．
（b）垂直于AB做直線，AB的垂直平分線上的四個點等電勢，可以直接短路；

可以看出AB間等效電阻$\frac{1}{{R}_{AB}}$=$\frac{R}{2}$$+\frac{R}{4}$+$\frac{R}{6}$+$\frac{R}{6}$+$\frac{R}{4}$$+\frac{R}{2}$，
解得R_AB=$\frac{6}{11}$R．
故答案為：$\frac{7}{12}$R；$\frac{6}{11}$R．

點評 該題首先要會畫等效電路圖；能掌握節(jié)點電流法是關鍵因素，結(jié)合串并聯(lián)知識解決．