Question

【題目】已知數列的前項和滿足，數列滿足．

Ⅰ求數列和數列的通項公式；

Ⅱ令，若對于一切的正整數恒成立，求實數的取值范圍；

Ⅲ數列中是否存在，且 使，，成等差數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】Ⅰ，；Ⅱ或；Ⅲ 不存在，理由見解析．

【解析】

Ⅰ利用已知條件通過，說明數列是首項為1，公比為2的等比數列，從而可求出的通項公式，然后求解的通項公式；Ⅱ求出，判斷數列的單調性，結合對于一切的正整數恒成立，得到求解即可；Ⅲ假設存在，使，，成等差數列，推出說明是與條件矛盾，得到結論．

Ⅰ根據題意，數列滿足，

當時，．當時，，，

即．

所以數列是首項為1，公比為2的等比數列

所以，；

又由已知，得

Ⅱ依題意得，．

因為，

所以當時，取得最大值

因為對于一切的正整數n恒成立，

所以

解得或，

所以實數x的取值范圍是或；

Ⅲ假設存在，使，，成等差數列，

則，即

兩邊同時除以，得

因為為偶數，為奇數，這與矛盾．

所以不存在，使，，成等差數列