Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）證明：直線與曲線相交于兩點(diǎn)，并求兩點(diǎn)之間的距離.

Answer 1

【答案】（1）x+y-3=0, （2）

【解析】

（1）直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，即可求出直線的直角坐標(biāo)方程；曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互換公式，由此能求出曲線的直角坐標(biāo)方程．

（2）求出曲線的圓心，和半徑，在根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求出圓心到直線l的距離，根據(jù)與關(guān)系即可證明結(jié)果，然后再根據(jù)勾股定理，即可求出結(jié)果．

（方法二）將（1）得到的方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的判別式，即可證明結(jié)果，然后再利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式即可求出結(jié)果.

（1）由消去參數(shù)得直線的普通方程為

由，得，曲線的直角坐標(biāo)方程為

（2）曲線即

圓心到直線的距離

所以，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，

兩交點(diǎn)之間的距離為

（方法二）由得

，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即直線與曲線相交于兩點(diǎn)，

設(shè)兩交點(diǎn)為，則，，