Question

【題目】已知直線l：y=kx+m與橢圓+=1（a＞b＞0）恰有一個(gè)公共點(diǎn)P，l與圓x2+y2=a2相交于A，B兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求m（用a，b，k表示）；

（Ⅱ）當(dāng)k=-時(shí)，△AOB的面積的最大值為a2，求橢圓的離心率．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）m=±; （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與橢圓的方程，變形可得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2（m2-b2）=0，由直線與橢圓的位置關(guān)系可得△=（2a2km）2-4（a2k2+b2）a2（m2-b2）=0，整理變形可得答案；

（Ⅱ）根據(jù)題意，求出原點(diǎn)O到直線l的距離，變形可得，結(jié)合橢圓的離心率公式分析可得答案．

解：（Ⅰ）根據(jù)題意，直線l與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)P，即相切；

則有，得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2（m2-b2）=0，

則△=（2a2km）2-4（a2k2+b2）a2（m2-b2）=0，

化簡(jiǎn)整理，得m2=a2k2+b2；m=±，

（Ⅱ）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，△OAB的面積取到最大值，

此時(shí)OA⊥OB，從而原點(diǎn)O到直線l的距離，

又，故；

再由（I），得，則．

又，故，即，

從而，即．