Question

已知直四棱錐P-ABCD中，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，E是AP的中點(diǎn)
（1）求證：PC∥平面EBD；
（2）若點(diǎn)D在PC上的射影為F，求證：平面DEF⊥平面PCB．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連AC交BD于O，連EO，證明EO∥PC，EO在平面EBD內(nèi)，PC在平面EBD外，即可證明PC∥平面EBD；
（2）通過證明BC⊥平面PDC，利用D在PC上的射影為F，證明DF⊥PC，然后證明平面DEF⊥平面PBC．

解答： （1）證明：連AC交BD于O，連EO
∵E是PA的中點(diǎn)，∴EO是△PAC的中位線，于是有EO∥PC
又EO在平面EBD內(nèi)，PC在平面EBD外，∴PC∥平面EBD；
（2）證明：∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC．
又ABCD是正方形，∴BC⊥CD，∵PD?平面PDC，CD?平面PDC，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC．
又DF在平面PDC內(nèi)，∴BC⊥DF，又D在PC上的射影為F，∴DF⊥PC，
則DF⊥平面PBC
又DF?平面DEF，∴平面DEF⊥平面PBC．

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查直線與平面垂直，平面與平面垂直的證明的方法，考查空間想象能力，基本知識的靈活運(yùn)用能力．