Question

7．（1）若函數(shù)f（x）=$\frac{ax+1}{x+b}$的圖象的對稱中心為（2，1），求實(shí)數(shù)a、b．
（2）已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，且當(dāng)x∈R時，f（m+x）=-f（m-x）+2n恒成立，求證y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（m，n）對稱．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=$\frac{ax+1}{x+b}$=a+$\frac{1-ab}{x+b}$ 圖象對稱中心為（2，1），結(jié)合函數(shù)平移即可；
（2）f（m+x）=-f（m-x）+2n恒成立，設(shè)（a，b）是函數(shù)y=f（x）上任意一點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（m，n）對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為（c，d），那么點(diǎn)（m，n）是點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)（c，d）的中點(diǎn)．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{ax+1}{x+b}$=a+$\frac{1-ab}{x+b}$ 圖象對稱中心為（2，1），
所以b=-2，a=1；
（2）證明：f（m+x）=-f（m-x）+2n恒成立，
設(shè)（a，b）是函數(shù)y=f（x）上任意一點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（m，n）對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為（c，d），
那么點(diǎn)（m，n）是點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)（c，d）的中點(diǎn)，即：a+c=2m，b+d=2n
令x₀=m-a，則a=m-x₀，c=m+x₀，點(diǎn)（a，b）在函數(shù)y=f（x）上，那么：
b=f（a）=f（m-x₀）
所以，d=2n-b=2n-f（m-x₀）=f（c），
即點(diǎn)（c，d）也在y=f（x）的圖形上，
故y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（m，n）對稱，得證．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)關(guān)于自身對稱的證明，以及點(diǎn)滿足曲線定義的理解，屬中等題．