Question

對于c＞0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a、b滿足a²-2ab+2b²=c且使|a+b|最大時，

3

a

-

4

b

+

5

c

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：首先把：a²-2ab+2b²=c，轉(zhuǎn)化為c=（a-b）²+b²，再由柯西不等式得到|a+b|²，分別用b表示a，c，在代入到

3

a

-

4

b

+

5

c

得到關(guān)于b的函數(shù)，求出最小值即可．

解答： 解：∵a²-2ab+2b²=c，
∴c=（a-b）²+b²，
由柯西不等式得，[（a-b）²+b²]（1+4）≥|a+b|²
故當(dāng)|a+b|最大時，有a-b=

b

2

∴a=

3

2

b，c=

5

4

b²
∴

3

a

-

4

b

+

5

c

=

4

b2

-

2

b

=4（

1

b

-

1

4

）²+

1

4

當(dāng)b=4時，取得最小值為

1

4

．
故答案為：

1

4

．

點(diǎn)評：本題考查了柯西不等式，以及二次函數(shù)的最值問題，屬于難題．