Question

在極坐標系中，已知點A（

2

，0）到直線l：ρsin（θ-

π

4

）=m（m＞0）的距離為3．
（1）求實數(shù)m值；
（2）設P是直線l上的動點，Q在線段OP上，且滿足|OP||OQ|=1，求點Q軌跡方程，并指出軌跡是什么圖形．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,軌跡方程

專題：綜合題,坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）ρsin（θ-

π

4

）=m可化為x-y+

2

m=0，利用點A（

2

，0）到直線l：ρsin（θ-

π

4

）=m（m＞0）的距離為3，求出m的值；
（2）直線l：ρsin（θ-

π

4

）=2

2

，設Q（ρ，θ），P（ρ₁，θ），則ρ₁=

1

ρ

，利用P是直線l上的動點，即可求點Q軌跡方程，并指出軌跡是什么圖形．

解答： 解：（1）ρsin（θ-

π

4

）=m可化為x-y+

2

m=0，
∵點A（

2

，0）到直線l：ρsin（θ-

π

4

）=m（m＞0）的距離為3，
∴

| 2 + 2 m|

2

=3，
∴m＞0，
∴m=2；
（2）直線l：ρsin（θ-

π

4

）=2

2

．
設Q（ρ，θ），P（ρ₁，θ），則ρ₁=

1

ρ

，
∵ρ₁sin（θ-

π

4

）=2

2

，
∴sin（θ-

π

4

）=2

2

ρ，
即y-x=4x²+4y²，軌跡為圓．

點評：本題考查軌跡方程，考查極坐標方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．