Question

橢圓G：

x2

4

+y²=1．過點（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交橢圓G于A，B兩點．
（1）求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率；
（2）將|AB|表示為m的函數(shù)，并求S_△OAB的最大值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程容易求出焦點坐標(biāo)和離心率；
（2）由圖形可以看出，當(dāng)|m|＞1時，切線l存在斜率，所以方程設(shè)為y=k（x-m），聯(lián)立圓的方程，根據(jù)直線和圓只有一個公共點可求得k2=

1

m2-1

，根據(jù)弦長公式即可求出|AB|=

4 3 |m|

m2+3

，S_△OAB≤1；而|m|=1時，|AB|=

3

，S△OAB=

3

2

，所以得到S_△OAB的最大值為1．

解答： 解：（1）橢圓G的焦點坐標(biāo)為（

3

，0），（-

3

，0），離心率為：

3

2

；
（2）如圖，①若|m|＞1，切線l存在斜率，設(shè)為k，則l的方程為，y=k（x-m）；
由

y=k(x-m) x2+y2=1

得，（1+k²）x²-2mk²x+k²m²-1=0，則該方程只有一解；
∴△=4m²k⁴-4（1+k²）（k²m²-1）=0；
∴解得k2=

1

m2-1

；
∴由

y=k(x-m) x2 4 +y2=1

得，(

1

4

+k2)x2-2mk2x+k2m2-1=0，所以帶入k2=

1

m2-1

得：
(

1

4

+

1

m2-1

)x2-

2m

m2-1

x+

1

m2-1

=0，若設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：
x1+x2=

8m

m2+3

，x1x2=

4

m2+3

；
|AB|=

1+ 1 m2-1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

|m|

m2-1

•

( 8m m2+3 )2- 16 m2+3

=

4 3 |m|

m2+3

；
∴S△OAB=

2 3 |m|

m2+3

=

2 3

|m|+ 3 |m|

≤

2 3

2 3

=1，當(dāng)m²=3，即m=±

3

時取“=”；
②當(dāng)|m|=1，即m=±1時，若m=1，由

x=1 x2 4 +y2=1

得，y=±

3

2

，∴|AB|=

3

；
同樣，m=-1時，|AB|=

3

，∴S△OAB=

3

2

；
綜上得S_△OAB的最大值為1．

點評：考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的焦點和離心率的概念，以及直線和圓相切時，對應(yīng)直線方程和圓的方程形成方程組的解的情況，弦長公式，基本不等式．