Question

已知函數(shù)f(x)=loga

x+b

x-b

(a＞1，b＞0)．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）判斷f（x）的單調性，并用定義證明．

Answer 1

分析：（1）由對數(shù)函數(shù)的意義可知

x+b

x-b

＞0，從而可求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）利用f（-x）+f（x）=0可判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）設b＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）判斷其符號即可知f（x）在（b，+∞）上的單調性，同理可知f（x）在（-∞，-b）上的單調性．

解答：解：（1）依題意可知

x+b

x-b

＞0，又b＞0，
∴x＞b或x＜-b，
∴函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-b）∪（b，+∞）；
（2）∵f（-x）+f（x）=loga

-x+b

-x-b

+loga

x+b

x-b

=loga

-x+b

-x-b

•

x+b

x-b

=log_a1
=0，
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（3）∵a＞1，設b＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=loga

x1+b

x1-b

-loga

x2+b

x2-b

=loga(

x1+b

x1-b

×

x2-b

x2+b

)＞log_a1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（b，+∞）上的單調遞減；
同理可證f（x）在（-∞，-b）上單調遞減；
故f（x）在（-∞，-b）與（b，+∞）上均為減函數(shù)．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域，考查對數(shù)函數(shù)的奇偶性與單調性，突出考查定義證明函數(shù)的單調性，屬于中檔題．