Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

+alnx，常數(shù)a≠0，求f（x） 的單調(diào)區(qū)間及極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求出f′（x）=-

1

x2

+

a

x

=-

1-ax

x2

，討論①a＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）遞減，②a＞0時(shí)，得出f（x）在（0，

1

a

）遞減，在（

1

a

，+∞）遞增，
從而f（x）_極小值=f（

1

a

）=a-alna，無極大值．

解答： 解：∵f′（x）=-

1

x2

+

a

x

=-

1-ax

x2

，
①a＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）遞減，
②a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞

1

a

，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

1

a

，
∴f（x）在（0，

1

a

）遞減，在（

1

a

，+∞）遞增，
∴f（x）_極小值=f（

1

a

）=a-alna，無極大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道基礎(chǔ)題．