Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，銳角∠DAB的平分線AC交⊙O于點(diǎn)C，作CD⊥AD，垂足為D，直線CD與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：直線CD為⊙O的切線；
（2）當(dāng)AB=2BE，且CE=

3

時(shí)，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段,圓的切線的判定定理的證明

專題：立體幾何

分析：（1）連接OC，由已知條件推導(dǎo)出OC∥AD，又CD⊥AD，從而CD⊥OC，由此能證明CD為⊙O的切線．
（2）由已知得OE=2OC，在Rt△EOC中，設(shè)CO=x，即OE=2x，由勾股定理得：CE=

3

x，由此能求出AD．

解答： （1）證明：連接OC，
∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2，
∵又AO=CO，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，∵又CD⊥AD，∴CD⊥OC，
∴CD為⊙O的切線；
（2）解：∵直徑AB=2BE，
∴OE=2OC，
在Rt△EOC中，設(shè)CO=x，即OE=2x，
由勾股定理得：CE=

3

x，
又∵CE=

3

，∴x=1，即OC=1，
∵OC∥AD，∴△EOC∽△EAD，
∴

OC

AD

=

OE

AE

，即

1

AD

=

2

3

，
解得AD=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線是圓的切線的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．