Question

已知函數(shù)f（x-1）是偶函數(shù)，且x＜-1時，f′（x）＞0恒成立，又f（2）=0，則（x+1）f（x+2）＜0的解集為（　　）

• A、（-∞，-2）∪（4，+∞）
• B、（-6，-1）∪（0，4）
• C、（-6，-1）∪（0，+∞）
• D、（-∞，-6）∪（4，+∞）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知函數(shù)f（x-1）是偶函數(shù)，可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，由x＜-1時，f′（x）＞0恒成立，可得函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)，結(jié)合f（2）=0，可分析出在不同區(qū)間上（x+1）與f（x+2）的符號，求出兩者異號的范圍，可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x-1）是偶函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，
由x＜-1時，f′（x）＞0恒成立，可得函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)，
由f（2）=0，可得：f（-4）=0，
當(dāng)x∈（-∞，-6）時，f（x+2）＜0；
當(dāng)x∈（-6，-3）時，f（x+2）＞0；
當(dāng)x∈（-3，0）時，f（x+2）＞0；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x+2）＜0；
又∵當(dāng)x∈（-∞，-1）時，x+1＜0；
當(dāng)x∈（-1，+∞）時，x+1＞0；
故當(dāng)x∈（-6，-1）∪（0，+∞）時，（x+1）f（x+2）＜0，
故選：C

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)圖象的平移變換，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．