Question

已知函數y=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[-1，1]上的最大值是7，求a的值．

Answer 1

解：令t=a^x，則t＞0
則y=a^2x+2a^x-1=t²+2t-1=（t+1）²-2（t＞0）
當0＜a＜1時，
∵x∈[-1，1]，
∴a≤t≤，此時f（t）在[a，]上單調遞增，
則y_max=f（）=+-1=7，
解得：=2，或=-4（舍）
∴a=
當a＞1時，
∵x∈[-1，1]，
∴≤t≤a，此時f（t）在[，a]上單調遞增，
則y_max=f（a）=a²+2a-1=7，
解得：a=2，或a=-4（舍）
∴a=2
綜上：a=或a=2
分析：由已知中函數y=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[-1，1]上的最大值是7，我們利用換元法，及二次函數的性質，我們易構造關于a的方程，解方程即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，指數函數的值域，二次函數的單調性，其中利用換元法將已知中的函數化為二次函數是解答本題的關鍵．