Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，ABCD為平行四邊形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M為PB的中點(diǎn)，PA=AD=2.

（Ⅰ）求證：PD//平面AMC；
（Ⅱ）若AB=1，求二面角B—AC—M的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為．

試題分析：（Ⅰ）要證//平面，只需在平面找一條直線與平行即可，證明線線平行，可利用三角形的中位線平行，也可利用平行四邊形的對(duì)邊平行，本題為的中點(diǎn)，可考慮利用三角形的中位線平行，連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，利用三角形中位線性質(zhì)，證得//，從而證明//平面；（Ⅱ）求二面角B—AC—M的余弦值，可找二面角的平面角，取的中點(diǎn)，連接，作，垂足為，連接，證明為二面角的平面角，即可求得二面角的余弦值；也可利用空間坐標(biāo)來(lái)求，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，由于平面，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)出平面的法向量，通過(guò)，，求出平面的法向量，從而得二面角B—AC—M的余弦值．
試題解析：（Ⅰ）證明：?連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，
????∵?四邊形是平行四邊形，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)．????????????????
∵為的中點(diǎn)，∴為的中位線，
∴//，?????????    3分
∵，
∴//．???????? 6分
?(Ⅱ)??解法一?：?∵平面，//，?則平面，故，
又??且，
∴?平面，取的中點(diǎn)，連接，則//，且?．∴?．
作，垂足為，連接，由于，且，
∴，∴?．
∴為二面角的平面角．?  ?9分
由∽，得，得，
在中，．
∴?二面角的余弦值為．????  12分
?(Ⅱ?)?解法二：?∵平面，，?則平面，故，
又??且，∴．?????????? ?9分
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
????
則，，，，，?∴，?，求得平面的法向量為，?又平面的一個(gè)法向量為，?
∴??.?
∴?二面角B—AC—M的余弦值為.??  12分