Question

20．己知函數(shù)f（x）=x³-3x，若過(guò)點(diǎn)A（1，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． -1＜m＜1
• B． -4＜m＜4
• C． -1＜m＜-2
• D． -3＜m＜-2

Answer 1

分析 先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，再用斜率公式求出切線斜率，兩者相等，得到含m的方程，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A（1，m） 可作曲線y=f（x）的三條切線，所以前面所求方程有3解，再借助導(dǎo)數(shù)判斷何時(shí)方程有3解即可．

解答 解；設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)（x₀，x₀³-3x），
∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3
∴曲線y=f（x）在（x₀，x₀³-3x）處的切線斜率為3x₀²-3
又∵切線過(guò)點(diǎn)A（1，m），∴切線斜率為$\frac{{{x}_{0}}^{3}-3x-m}{{x}_{0}-1}$，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{3}-3x-m}{{x}_{0}-1}$=3x₀²-3
即2x₀³-3x₀²+m+3=0  ①
∵過(guò)點(diǎn)A（1，m） 可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴方程①有3解．
令ω（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3，則ω（x₀）圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，∴ω（x₀）的極大值與極小值異號(hào)
ω′（x₀）=6x₀²-6x₀，令ω′（x₀）=0，得x₀=0或1
∴ω（0）ω（1）＜0，即（m+3）（m+2）＜0
∴-3＜m＜-2，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷方程根的個(gè)數(shù)．