（2009•青島一模）設(shè)橢圓M：
x2
a2
+
y2
8
=1(a＞2
2
)的右焦點為F1，直線l：x=
a2
a2-8
與x軸交于點A，若
OF1
+2
AF1
=
0
（其中O為坐標(biāo)原點）．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓M上的任一點，EF為圓N：x2+（y-2）2=1的任一條直徑，求
PE
•
PF
的最大值．
分析：（Ⅰ）確定A，F(xiàn)1的坐標(biāo)，利用
OF1
+2
AF1
=
0
，建立方程，從而可求橢圓M的方程；
（Ⅱ）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，將求
PE
•
PF
的最大值轉(zhuǎn)化為求
NP
2的最大值，利用配方法可求．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知：A(
a2
a2-8
，0)，F1(
a2-8
，0)
由
OF1
+2
AF1
=
0
得：
a2-8
=2(
a2
a2-8
-
a2-8
)
解得a=2
6
，
∴橢圓M的方程為M：
x2
24
+
y2
8
=1
（Ⅱ）
PE
•
PF
=(
NE
-
NP
)•(
NF
-
NP
)=(-
NF
-
NP
)•(
NF
-
NP
)=(-
NP
)2-
NF
2=
NP
2-1
從而將求
PE
•
PF
的最大值轉(zhuǎn)化為求
NP
2的最大值
P是橢圓M上的任一點，設(shè)P（x0，y0），則有
x02
24
+
y02
8
=1，即x02=24-8y02
又N（0，2），
∴
NP
2=x02+(y0-2)2=-2(y0+1)2+30
∵y0∈[-2
2
，2
2
]，
∴當(dāng)y0=-1時，
NP
2取最大值30
∴
PE
•
PF
的最大值為29…（14分）
點評：本題考查橢圓的方程，考查向量的數(shù)量積，考查配方法求函數(shù)的最值，屬于中檔題．
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3
28
3
28
．

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1a
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