Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x+1（a∈R）
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集為P，集合Q={x|0≤x≤1}，若P∩Q=∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用一元二次不等式恒成立時(shí)判別式△≤0，求出a的取值范圍；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式f（x）＞0對(duì)x∈Q恒成立，由此求出a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-（a+1）x+1（a∈R），
且關(guān)于x的不等式f（x）≥0的解集為R，
∴△=（a+1）²-4≤0，
解得-3≤a≤1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是-3≤a≤1；
（2）∵關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集是P，
集合Q={x|0≤x≤1}，當(dāng) P∩Q=∅時(shí)，
即不等式f（x）＞0對(duì)x∈Q恒成立；
∴x∈[0，1]時(shí)，x²-（a+1）x+1＞0恒成立，
∴a+1＜x+$\frac{1}{x}$對(duì)于x∈（0，1]時(shí)恒成立；
∴a+1＜2，
即a＜1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程以及對(duì)應(yīng)不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．